Radici con n pari e segno più o meno
Buongiorno, cerco un aiuto e una spiegazione dettagliata per un problema che non riesco a risolvermi da solo. Vi ringrazio moltissimo in anticipo per il vostro aiuto 
So che, per definizione, il radicale è quel numero positivo tale che elevato a 2 (in questo caso essendo radice quadrata) mi dà il numero di partenza.
Quando cerco invece le soluzioni metto ± perché non uso la definizione di radicale ma vado a cercare tutte le soluzioni (quindi anche quelle negative) che elevate mi danno il numero iniziale.
(1.) Ora, se voglio cercare LE e non LA radice di 4 => ±√4=±2 <=> ±2=±2 cioè a 2 corrisponde 2, 2=2 e a -2 corrisponde -2, cioè -2=-2 ->(2=2)
(2.) Adesso voglio considerare una incognita "y" che è un numero, esattamente come "4" di prima, bene: mettiamo io abbia (y^2)=4.
Peril primomembro, come per ,4 trovo le radici ±√(y^2)±y e per il secondo membro ±√4=±2 già visto.
Ora uguaglio: quindi devo poter scrivere ±√(y^2)=±√4 <=> ±y=±2 quindi a y corrisponde 2, y=2 e a -y corrisponde -2 [esattamente come sopra] -y=-2 ->(y=2 di nuovo). Arrivo cioè ad avere che y vale sempre 2: y=2 e non y=±2 (le due soluzioni che mi aspetto in realtà).
Scrivere ±y=±2 è diverso che scrivere y=±2 e mi "dimostra" che la soluzione è solo una: Assurdo!!
Non capisco dove sbaglio nell'approccio.
So che, per definizione, il radicale è quel numero positivo tale che elevato a 2 (in questo caso essendo radice quadrata) mi dà il numero di partenza.
Quando cerco invece le soluzioni metto ± perché non uso la definizione di radicale ma vado a cercare tutte le soluzioni (quindi anche quelle negative) che elevate mi danno il numero iniziale.
(1.) Ora, se voglio cercare LE e non LA radice di 4 => ±√4=±2 <=> ±2=±2 cioè a 2 corrisponde 2, 2=2 e a -2 corrisponde -2, cioè -2=-2 ->(2=2)
(2.) Adesso voglio considerare una incognita "y" che è un numero, esattamente come "4" di prima, bene: mettiamo io abbia (y^2)=4.
Peril primomembro, come per ,4 trovo le radici ±√(y^2)±y e per il secondo membro ±√4=±2 già visto.
Ora uguaglio: quindi devo poter scrivere ±√(y^2)=±√4 <=> ±y=±2 quindi a y corrisponde 2, y=2 e a -y corrisponde -2 [esattamente come sopra] -y=-2 ->(y=2 di nuovo). Arrivo cioè ad avere che y vale sempre 2: y=2 e non y=±2 (le due soluzioni che mi aspetto in realtà).
Scrivere ±y=±2 è diverso che scrivere y=±2 e mi "dimostra" che la soluzione è solo una: Assurdo!!
Non capisco dove sbaglio nell'approccio.
Risposte
L'equazione $y^2 =4 $ si tratta estraendo la radice quadrata di entrambi i membri; quindi $ sqrt(y^2) = sqrt(4)$ che si puo trattare come se fossero moduli $ |y|=|2|$ da cui y=2 o y=-2. Quindi non è che y corrisponde a 2 e -y corrisponde a -2; la presenza del modulo ti suggerisce che y corrisponde anche a -2 e -y a 2.
Grazie per la risposta.
Il problema è che puoi usare il modulo per risolverlo perché sai che vale, y, + e - 2. Cioè non è la spiegazione ma un'applicazione di "secondo livello".
Grazie per aiutarmi a capire
Il problema è che puoi usare il modulo per risolverlo perché sai che vale, y, + e - 2. Cioè non è la spiegazione ma un'applicazione di "secondo livello".
Grazie per aiutarmi a capire
Se vuoi risolvere un equazione di secondo grado puoi sempre usare la classica formula risolutiva: $(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
Quindi da $x^2=4$ avremo $x_(1,2)=(-0+-sqrt(0^2-4*1*(-4)))/(2*1)=+-sqrt(16)/2$ e ricordando che l'estrazione di radice quadrata (che è una funzione) "produce" un unico risultato positivo avremo $x_(1,2)=+-(+4)/2=+-2$
Cordialmente, Alex
Quindi da $x^2=4$ avremo $x_(1,2)=(-0+-sqrt(0^2-4*1*(-4)))/(2*1)=+-sqrt(16)/2$ e ricordando che l'estrazione di radice quadrata (che è una funzione) "produce" un unico risultato positivo avremo $x_(1,2)=+-(+4)/2=+-2$
Cordialmente, Alex
@axpgn
Sì, ma gli complichi le cose e non gli chiarisci il dubbio così.
@beraldo
LA radice quadrata è un numero positivo, perché così si vuole per definizione. Nulla mi vieta di prendere come radice quadrata di 4 il numero -2. Ma abbiamo scelto che la radice quadrata è +2=2.
Quando invece io mi trovo a risolvere l'equazione $x^2-4=0$, so che +2 è una soluzione, ma avendo la $x$ un esponente pari, anche -2 è una soluzione.
Sì, ma gli complichi le cose e non gli chiarisci il dubbio così.
@beraldo
LA radice quadrata è un numero positivo, perché così si vuole per definizione. Nulla mi vieta di prendere come radice quadrata di 4 il numero -2. Ma abbiamo scelto che la radice quadrata è +2=2.
Quando invece io mi trovo a risolvere l'equazione $x^2-4=0$, so che +2 è una soluzione, ma avendo la $x$ un esponente pari, anche -2 è una soluzione.
Pensavo il contrario ... 
Non confondiamo le soluzioni dell'equazione pura di secondo grado con la radice quadrata di un numero.
$sqrt4=2$ mentre $-sqrt4=-2$
$x^2=4->x=+-2$
$sqrt4=2$ mentre $-sqrt4=-2$
$x^2=4->x=+-2$
Appunto ...
Io non ho confuso nulla, forse mi sono spiegato male. Si definisce la radice quadrata come un numero positivo o nullo. (Anche se si potrebbe benissimo imporre che l'estraziome di radice emetta un risultato negativo o nullo, cosa "lecita".) La risoluzione di una equazione come quella citata è una cosa differente, sebbene il concetto di radice quadrata sia nato per poter risolvere equazioni come questa. In questa equazione di secondo grado le soluzioni sono due. Rimescoliamo le carte in gioco: la soluzione positiva di $x^2-4=0$ è quella che si chiama radice quadrata di 4.
Credo che il problema sia qui:
No, è lo stesso perché i due $+-$ sono indipendenti fra loro e quindi la prima scritta riassume i seguenti 4 casi:
$1)+y=+2" "" "2)+y=-2" "" "3)-y=+2" "" "4)-y=-2$
Se nei casi 3, 4 cambi tutti i segni riottieni i casi 1, 2 e li puoi riunire scrivendo $y=+-2$.
Sei nuovo del forum e quindi ti avviso che nella guida (link nel riquadro rosa in alto) trovi le istruzioni per rendere più leggibili le tue formule; se usi ASCIIMath molto spesso basta metter il segno del dollaro all'inizio ed alla fine della formula. In particolare, il segno $+-$ si ottiene scrivendo + - mentre $sqrt 4$ si ottiene scrivendo sqrt 4 (in entrambi i casi, non occorre spaziare). Conviene poi fare un'anteprima per controllare di aver ottenuto la scritta voluta (che non compare nel testo che stai digitando).
"beraldo":
Scrivere ±y=±2 è diverso che scrivere y=±2
No, è lo stesso perché i due $+-$ sono indipendenti fra loro e quindi la prima scritta riassume i seguenti 4 casi:
$1)+y=+2" "" "2)+y=-2" "" "3)-y=+2" "" "4)-y=-2$
Se nei casi 3, 4 cambi tutti i segni riottieni i casi 1, 2 e li puoi riunire scrivendo $y=+-2$.
Sei nuovo del forum e quindi ti avviso che nella guida (link nel riquadro rosa in alto) trovi le istruzioni per rendere più leggibili le tue formule; se usi ASCIIMath molto spesso basta metter il segno del dollaro all'inizio ed alla fine della formula. In particolare, il segno $+-$ si ottiene scrivendo + - mentre $sqrt 4$ si ottiene scrivendo sqrt 4 (in entrambi i casi, non occorre spaziare). Conviene poi fare un'anteprima per controllare di aver ottenuto la scritta voluta (che non compare nel testo che stai digitando).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo