Radice di -j

[fabioamd87]

ho un dubbio, come mai se

\(\displaystyle -j = e^{{-j\pi}/2} \)

allora

\(\displaystyle \sqrt{-j} = \sqrt{e^{{-j\pi}/4}} = \pm e^{-j\pi/4} \)

come mai il 2 diventa 4 nell'argomento dell'esponenziale?

[fabioamd87]

stavo verificando un po con i calcoli ed effettivamente ragionando ci va il 2, ma allora perché il mio prof a lezione ha detto esplicitamente 4?

edit2
cerco di rispondermi da solo

\(\displaystyle \sqrt{e^{-j\pi /2}} = {e^\frac{-j\pi}{2}}^{1/_2} = e^{\frac{-j\pi}{2}*1/_2} = e^{-j\pi /4} \)

l'errore quindi dovrebbe essere al secondo passaggio, non ci va il 4 ma il 2, mentre il 4 esce fuori dopo aver fatto la radice, giusto?

[Gi81]

Sì, i passaggi che hai scritto nell'ultimo post sono corretti.
Il prof si sarà sbagliato a scrivere. Capita a tutti

Avrebbe dovusto scrivere $sqrt(-j)= sqrt(e^(-j pi/2) ) = +- e^(-j pi/4)$

[mazzarri1]

ciao Fabio!
La radice di un numero complesso non è così semplice come sembra, nasconde una piccola difficoltà
Del resto non a caso si chiamano "numeri complessi"
Se pensi al numero complesso come

$z=a+jb=re^(j theta)$

con

$r=sqrt(a^2+b^2)$ e $theta=arctg(b/a)$

nel tuo caso avrai

$r=1$ e $theta=-pi/2$

e il tuo numero sarà

$-j = e^(-j pi/2)$

fino a qui ci siamo...
ora la radice QUADRATA di un numero complesso in generale ha due soluzioni ed è data dalla formula (ti scrivo questa e non la generale detta di DE-MOIVRE della radice n-esima che ha n soluzioni e che ti puoi vedere da solo)

$sqrt(z) = sqrt(a+jb)=sqrt(r)e^(j(theta+2kpi)/2)$ con $k=0,1$

nel tuo caso sarà

$sqrt(-j) = e^(j(2kpi-pi/2)/2)$

che sostitendo i due valori di k ti fornisce le soluzioni

$e^(-j pi/4)$ e $e^(j 3 pi/4)$

e se vuoi l'ultima soluzione la puoi anche pensare come $-e^(-j pi/4)$
che fa coincidere il risultato con quanto ti aveva già scritto Gi8