Radice complessa

[Newton_1372]

i-sqrt(3). Quali sono le radici quadrate?

[adry105]

Sarebbe

[math]Z=i-\sqrt{3}[/math]

?

Quali sono le radici quadrate del numero?..

Cioè

[math]\sqrt{Z}=[/math]

?

[Newton_1372]

Sono da calcolare con De Moivre

Aggiunto 12 secondi più tardi:

C'è qualche prob con l'argomento però

[adry105]

[math]|Z|=2[/math]

[math]cosa=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

[math]sina=-\frac{1}{2}[/math]

[math]a=\frac{\pi}{6}[/math]

[Newton_1372]

ok e le radici quali sono...?

[adry105]

[math]Z^n=|Z|^n(cos{n\alpha}+ isin{n\beta}) [/math]

ops ho cancellato.. :)

[Newton_1372]

Ehi grazieeeeeeeeeeeee

[adry105]

PregoOoo :)

[Newton_1372]

sqrt(2)+sqrt(2)i. Radici quadrate?

Aggiunto 31 minuti più tardi:

Risolto! Potete chiudere

[xico87]

ti do una soluzione più inuitiva, cioè con l'esponenziale complesso:

[math] \theta = \frac{\pi}{4} \\
\rho = 2 \\
\sqrt{\rho e^{j(\theta + 2k\pi)}
[/math]

quello che ha scritto adry non è completo

[Newton_1372]

2+i radici cubiche. Questo mi da problemi seri! Credo che non esiste una formula trigonometrica di "trisezione"...e l'argomento non è notevole...! Quale angolo ha il seno doppio del coseno!?

[adry105]

[math]Z^n=|Z|^n(cos{n\alpha}+ isin{n\alpha}) [/math]

[math]X=1[/math]

[math]Y=1+i[/math]

[math]Z=X+Y [/math]

Prova così :) Ovviamente con alpha argomento principale :)

[xico87]

non capisco perchè vi incasinate la vita. un numero complesso è un vettore, quindi risulta facile trovarne l'argomento e il modulo. fatto questo si ricorre alla forma esponenziale:

[math] z = x + iy = \rho e^{i \theta} [/math]

.
se ti interessa la radice n-esima basta fare la radice n-esima di z sfruttando la forma esponenziale, ricordando che il numero di radici è dato dall'indice della radice: aggiungendo

[math] 2k \pi [/math]

all'argomento, per k = 0,..., n-1 hai servite le soluzioni

[Newton_1372]

il problema è propr8io l'argomento!!!!! non so quant'è l'argomento ...! Seno e coseno vengono con la radice di 5, per cui non si trovano angoli notevoli!

Aggiunto 2 minuti più tardi:

2+i
modulo: rad(5)
seno: 2/rad(5)
coseno: 1/rad(5)
non ci sono angoli notevoli di questo tipo! Il massimo che riusciamo a beccare è scrivendo la tangente:
tangente: 1/2
ma ancora, non rientra negli angoli notevoli...

[xico87]

ah ecco, avevo letto male la tua domanda. segui il suggerimento di adry sopra, in tal modo conosci gli angoli

[adry105]

[math]Z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})+cos0[/math]

Però la radice terza non so come dovresti farla :D

Cioè sarebbe

[math]Z^{1/n}=Z^{1/n}(cos{\frac{\alpha+2k\pi}{n}}+isin{\frac{\alpha+2k\pi}{n}})[/math]

Radice terza, 3 soluzioni distinte, di cui una sicuramente reale :D

[Newton_1372]

Il problema è che non so il modulo! Anzi lo so, ed è un modulo stranissimo, radice di 5! Aspetta vi faccio vedere!

2+i

Modulo: sqrt(4+1) = sqrt(5)
ci siete o no?!

Aspetta hai scomposto nell'addizione di due numeri complessi quel numero lì...come altro si procede?! Devo trovarmi l' argomento! Quant'è TETA?! L'angolo! Ho bisogno dell'angolo! Non so come trovarmi l'angolo

[ciampax]

In realtà non è necessario conoscere l'angolo (o almeno non sempre). Spesso, sapendo solo il valore di

[math]\cos\alpha,\ \sin\alpha[/math]

, utilizzando un po' di formule trigonometriche, si possono scrivere e splicitamente le radici in forma algebrica. Ad esempio, qui tu hai

[math]\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}[/math]

e la forma generale delle radici è

[math]w_k=\sqrt[3]{\sqrt{5}}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\alpha+2k\pi}{3}\right),\qquad k=0,1,2[/math]

Quello che ti serve è allora capire quanto valgono

[math]\cos\frac{\alpha}{3},\qquad\sin\frac{\alpha}{3}[/math]

in termini dei valori noti. A quel punto infatti

[math]\cos\frac{\alpha+2k\pi}{3}=\cos\left(\frac{\alpha}{3}+\frac{2k\pi}{3}\right)=
\cos\frac{\alpha}{3}\cos\frac{2k\pi}{3}-\sin\frac{\alpha}{3}\sin\frac{2k\pi}{3}[/math]

(ed una formula simile per il seno) che risulterà semplice da calcolare (in quanto i valori degli angoli dipendenti da k sono tutti noti).

Ora, per trovare una formula utile per esprimere, ad esempio, il coseno, parti da

[math]\cos(3\beta)=\cos(\beta+2\beta)=\cos\beta\cos2\beta-\sin\beta\sin2\beta=\\
\cos\beta(\cos^2\beta-\sin^2\beta)-2\sin^2\beta\cos\beta=\cos^3\beta-3\cos\beta\sin^2\beta[/math]

e

[math]\sin(3\beta)=\sin(\beta+2\beta)=\sin\beta\cos2\beta+\sin2\beta\cos\beta=\\
\sin\beta(\cos^2\beta-\sin^2\beta)+2\sin^2\beta\cos\beta=3\sin\beta\cos^2\beta-\sin^3\beta[/math]

Da queste due formule puoi ricavare il valore di

[math]\cos\beta,\ \sin\beta[/math]

in termini di

[math]\cos(3\beta),\ \sin(3\beta)[/math]

. A questo punto basta sostituire

[math]\beta=\alpha/3[/math]

ed ottieni i valori cercati.

P.S.: c'è una formula generale che ti permette di determinare i valori del seno e coseno di multipli di un angolo in termini dell'angolo e viceversa. Se avrò tempo, un giorno, te la scrivo (con relativa dimostrazione).

[Newton_1372]

Viene un sistema di equazioni di terzo grado! Aiuto!

[adry105]

Ma non farlo :D Lascialo correggere al tuo professore :D

[Newton_1372]

ottima soluzione...:S

Aggiunto 41 secondi più tardi:

E' contro la mia etica passare avanti senza prima aver capito tutto...quindi ci sbatterò la testa finchè non lo saprò fare

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Si ponga

[math] x =cos{\frac{\theta}{3}}\\y=sin{\frac{\theta}{3}}[/math]

La determinazione del nostro fatidico e misterioso argomento potrebbe aversi secondo il seguente sistema:

[math]\begin{cases}x^3-3y^2x=\frac{2}{\sqrt{5}}\\3yx^2-y^3=\frac{1}{\sqrt{5}}\end{cases}[/math]

Ho provato a risolvere il sistema ma mi impelago (non so perchè) in così tanti calcoli da riempire decine di fogli, senza per altro arrivare a nulla. Quali sono le soluzioni del sistema precedente?

Aggiunto 9 ore 40 minuti più tardi:

Posto un altro esercizio nel quale ho difficoltà.
Dimostrare con la formula di eulero che

[math] \cos^5{x}=\frac{1}{16}\cos{5x}+\frac{5}{16}\cos{3x}+\frac{5}{8}\cos{x}[/math]

indizio. Precedentemente ho dimostrato che

[math]\cos^3{x}=\frac{1}{4}\cos{3x}+\frac{3}{4}\cos{x}[/math]