Radice complessa

Newton_1372
i-sqrt(3). Quali sono le radici quadrate?

Risposte
ciampax
Io direi che il nuovo esercizio puoi farlo così: dall'identità di Eulero

[math]e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta[/math]


segue, essendo il coseno la parte reale,

[math]\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}[/math]


Allora ad esempio

[math]\cos^3 x=\frac{1}{8}(e^{ix}+e^{-ix})^3=\frac{1}{8}(e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix})=\\
\frac{1}{8}\left(e^{3ix}+e^{-3ix}+3(e^{ix}+e^{-ix})\right)=\frac{1}{8}\left(2\cos(3x)+6\cos x\right)[/math]
.

Newton_1372
si si cos cubo ci sono riuscito ho avuto difficoltà nel cos^5 perchè non riescono a ricondurmi alla formula prevista dalla tesi (vedasi posto sopra)

Aggiunto 38 secondi più tardi:

mi farebbe vedere come fa il cos^5?

Aggiunto 18 ore 38 minuti più tardi:

il libro dà come risultato
[math]cos^5{x}=\frac{1}{16}\cos{5x}+\frac{5}{16}\cos{3x}+\frac{5}{8}\cos{x}[/math]
(X)
ho provato a porre
[math] cos^5{x}=cos^3{x}cos^2{x}[/math]
(1)
calcolatomi
[math]cos^2{x}=\frac{1}{2}\cos{2x}+\frac{1}{2}[/math]

ho sostituito cos^3(x) col valore noto e cos^2x con quello appena trovato nell'equazione (1), ottenendo
[math](\frac{1}{4}\cos{3x}+\frac{3}{4}\cos{x})(\frac{1}{2}\cos{2x}+\frac{1}{2})[/math]

ma sviluppati i calcoli, non riesco a ricondurmi alla formula X

ciampax
Ma no! ai come prima:

[math]cos^5 x=\frac{1}{32}(e^{ix}+e^{-ix})^5=\frac{1}{32}(e^{5ix}+5e^{3ix}+10e^{ix}+10e^{-ix}+5e^{-3ix}+e^{-5ix})=\\
\frac{1}{32}(2\cos 5x+10\cos 3x+20cos x)=\frac{1}{16}\cos 5x+\frac{5}{16}\cos 3x+\frac{5}{8}\cos x[/math]


Per i coefficienti della potenza 5 usa il triangolo di Tartaglia.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.