Radicali, semplificazioni, disequazioni.

[Stillife]

Ciao a tutti.

Ho questo esercizio:

"Data l'espressione $f(x)=sqrt(a^2+2a+1)-sqrt(a^2-2a+1)$, riscrivila in forma semplificata per casi al variare di $a$"

La mia difficoltà sta nel non saper essere preciso con gli intervalli, come adesso vi mostro:

Intanto la riscrivo come: $sqrt((a+1)^2)-sqrt((a-1)^2)=|a+1|-|a-1|$

A questo punto si possono verificare i seguenti casi:

1) Sono entrambe positive, quindi :

$(a+1)-(a-1)=a+1-a+1=2$

2) Sono entrambe negative, quindi

$ -(a+1)-(-(a-1))=-a-1-(-a+1)=-a-1+a-1=-2$

3) a+1 è positiva mentre a-1 è negativa (non considero il caso opposto perchè messe a sistema non hanno soluzione), quindi:

$(a+1)-(-(a-1))=a+1-(-a+1)=a+1+a-1=2a$

Ovviamente ci sarebbero i casi in cui uno dei due addendi è uguale a zero, ma è qui che mi confondo.

Mi sembra chiaro che si ottiene :

$2a$ se $-1
$2$ se $a > 1$

$-2$ se $a < -1$

Ma non capisco dove includere 1 o -1, perchè nel verificare le soluzioni dei vari sistemi potrei leggere i grafici in vari modi, per esempio nel considerare il caso 1, posso avere:

${(a,+,1,>=,0),(a,-,1,>,0):}$

oppure:

${(a,+,1,>,0),(a,-,1,>=,0):}$

oppure

${(a,+,1,>,0),(a,-,1,>,0):}$

Insomma ho una gran confusione

[axpgn]

Perché non ti limiti a cercare i valori di $a$ ? In pratica trovi il C.E. e parti da quegli intervalli ... IMHO

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Per il caso in cui un addendo è nullo, ti basta modificare lievemente il punto 3: invece di scrivere "a+1 è positiva mentre a-1 è negativa" scrivi "a+1 è positiva o nulla mentre a-1 è negativa o nulla". Oppure puoi modificare in modo analogo i punti 1 e 2: le due cose si equivalgono perchè, ad esempio, per $a=1$ è lo stesso scrivere $2$ oppure $2a$.
Concordo col suggerimento di axpgn: anche se il tuo ragionamento è giusto, sarebbe stato più facile dire che ci sono tre intervalli: prima di -1, fra -1 ed 1, dopo 1. I valori $+-1$ possono essere inclusi entrambi nel secondo intervallo, oppure uno nel primo e l'altro nel terzo (volendo, sono possibili anche altre inclusioni, ma queste sono le più spontanee).

[Stillife]

Adesso è più chiaro.

Avevo notato che sostituendo -1 o 1 nell'espressione relativa al terzo caso il risultato era corretto in ogni caso, dunque possiamo scrivere:

$2a$ se $−1<=a<=1$

$2$ se $a>1$

$−2$ se $a<−1$

Grazie Alex e Giammaria per le risposte.