Radicali in R
raga....sono nuovo del forum e non ho mai postato....ho dei dubbi colossali su alcune cose relative ai radicali in r.....e in particolar modo vorrei capire in che casi il radicando dev'essere scritto sotto valore assoluto (soprattutto quando bisogna portare fuori i fattori vari) grazie in anticipo per ogni eventuale risposta.....;)
Risposte
RADICALI: Parte I
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
Allora, per capire i radicali bisogna innanzitutto capire che nelle operazioni algebriche, essi si comportano come monomi.
Pertanto possono essere sommati/sottratti (somma algebrica) solo se sono simili.
Due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale:
3ab ; 12/5ab ==> sono simili e possono essere sommati/sottratti:
3ab + 12/5ab = (3 + 12/5)ab = 27/5ab |somma della parte numerica e stessa parte letterale|
3ab - 12/5ab = (3 - 12/5)ab = 3/5ab |differenza della parte numerica e stessa parte letterale|
2a ; 6ab ==> non sono simili e pertanto non possono essere sommati/sottratti.
La stessa cosa vale per i Radicali:
Nei radicali, la "parte letterale" è costituita dalla radice (quadrata, cubica, quarta...) e dalla quantità presente sotto il segno di radice.
4*sqrt(5) ; 1/2*sqrt(5) ==> sono simili in quanto la loro "parte letterale" è costituita da due radici quadrate sotto le quali è presente la stessa quantità ovvero 5.
Detto ciò possiamo procedere a sommarli/sottrarli:
4*sqrt(5) + 1/2*sqrt(5) = (4 + 1/2)*sqrt(5) = 9/2*sqrt(5) |somma della parte numerica e stessa "parte letterale" (stesso indice di radice e stesso radicando)|
4*sqrt(5) - 1/2*sqrt(5) = (4 - 1/2)*sqrt(5) = 7/2*sqrt(5) |differenza della parte numerica e stessa "parte letterale" (stesso indice di radice e stesso radicando)|
4*sqrt(7) ; 4*sqrt(11) ==> non sono simili in quanto il radicando è diverso e non si può sommarli/sottrarli
2*sqrt(2) ; 3*radice-cubica(2) ==> non sono simili in quanto l'indice è diverso è non si può procedere a sommarli/sottrarli
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
Allora, per capire i radicali bisogna innanzitutto capire che nelle operazioni algebriche, essi si comportano come monomi.
Pertanto possono essere sommati/sottratti (somma algebrica) solo se sono simili.
Due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale:
3ab ; 12/5ab ==> sono simili e possono essere sommati/sottratti:
3ab + 12/5ab = (3 + 12/5)ab = 27/5ab |somma della parte numerica e stessa parte letterale|
3ab - 12/5ab = (3 - 12/5)ab = 3/5ab |differenza della parte numerica e stessa parte letterale|
2a ; 6ab ==> non sono simili e pertanto non possono essere sommati/sottratti.
La stessa cosa vale per i Radicali:
Nei radicali, la "parte letterale" è costituita dalla radice (quadrata, cubica, quarta...) e dalla quantità presente sotto il segno di radice.
4*sqrt(5) ; 1/2*sqrt(5) ==> sono simili in quanto la loro "parte letterale" è costituita da due radici quadrate sotto le quali è presente la stessa quantità ovvero 5.
Detto ciò possiamo procedere a sommarli/sottrarli:
4*sqrt(5) + 1/2*sqrt(5) = (4 + 1/2)*sqrt(5) = 9/2*sqrt(5) |somma della parte numerica e stessa "parte letterale" (stesso indice di radice e stesso radicando)|
4*sqrt(5) - 1/2*sqrt(5) = (4 - 1/2)*sqrt(5) = 7/2*sqrt(5) |differenza della parte numerica e stessa "parte letterale" (stesso indice di radice e stesso radicando)|
4*sqrt(7) ; 4*sqrt(11) ==> non sono simili in quanto il radicando è diverso e non si può sommarli/sottrarli
2*sqrt(2) ; 3*radice-cubica(2) ==> non sono simili in quanto l'indice è diverso è non si può procedere a sommarli/sottrarli
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
ecco...ho capito...ti ringrazio...xò questo è solo la punta di un iceberg....allora vorrei capire....quando x esempio abbiamo radice ennesima di a sotto quale indice devo mettere |a| sotto radice oppure solamente a?????????? (skusami eh..:;) )
RADICALI: Parte II
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
Altro problema con i radicali (solo per quelli di indice pari) è quando il radicando è letterale:
Esempio:
2*sqrt(6a) ; 3*radice-quarta(2x) ; 5*radice-sesta(7ay)
Quando ci troviamo a dover risolvere un esercizio del tipo "Sommare i radicali" ; "Portare dentro/fuori"; possiamo anche lasciarli così come sono.
Tuttavia quando essi compaiono in problemi (Di geometria analitica o altro) bisogna ricordare che in R esiste solo la radice(di indice pari) di quantità positive.
Pertanto non sapendo se le lettere a, b, x, o altre rappresentano quantità positive o negative bisogna imporre che il radicando sia positivo sempre.
Per fare ciò ricorriamo al valore assoluto.
Nei tre casi precedenti pertanto otterremo:
2*sqrt(|6a|) ; 3*radice-quarta(|2x|) ; 5*radice-sesta(|7ay|)
In questo modo siamo sicuri che qualunque sia il valore delle lettere che compaiono sotto radice, andremo sempre ad estrarre la radice(di indice pari) di una quantità positiva.
Naturalmente se abbiamo radicali del tipo:
radice-cubica(5a) ; radice-settima(7xy) ; 2*radice-quinta(x)
nei quali l'indice della radice è di ordine dispari, non c'è bisogno che ricorriamo al valore assoluto poichè esiste sempre la radice (di indice dispari) di qualsiasi quantità, positiva o negativa che essa sia!!
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
Altro problema con i radicali (solo per quelli di indice pari) è quando il radicando è letterale:
Esempio:
2*sqrt(6a) ; 3*radice-quarta(2x) ; 5*radice-sesta(7ay)
Quando ci troviamo a dover risolvere un esercizio del tipo "Sommare i radicali" ; "Portare dentro/fuori"; possiamo anche lasciarli così come sono.
Tuttavia quando essi compaiono in problemi (Di geometria analitica o altro) bisogna ricordare che in R esiste solo la radice(di indice pari) di quantità positive.
Pertanto non sapendo se le lettere a, b, x, o altre rappresentano quantità positive o negative bisogna imporre che il radicando sia positivo sempre.
Per fare ciò ricorriamo al valore assoluto.
Nei tre casi precedenti pertanto otterremo:
2*sqrt(|6a|) ; 3*radice-quarta(|2x|) ; 5*radice-sesta(|7ay|)
In questo modo siamo sicuri che qualunque sia il valore delle lettere che compaiono sotto radice, andremo sempre ad estrarre la radice(di indice pari) di una quantità positiva.
Naturalmente se abbiamo radicali del tipo:
radice-cubica(5a) ; radice-settima(7xy) ; 2*radice-quinta(x)
nei quali l'indice della radice è di ordine dispari, non c'è bisogno che ricorriamo al valore assoluto poichè esiste sempre la radice (di indice dispari) di qualsiasi quantità, positiva o negativa che essa sia!!
N.B. Il simbolo "sqrt" indica la radice quadrata del numero in parentesi
Con calma, con calma, ho diviso la trattazione in parti per farti capire meglio!!!:)
ah...skusami non avevo capito.........ti ringrazio.......;).....quindi solamente quando l'indice è pari va sotto il valore assoluto?
Certo... ora concludo spiegandoti anche il tuo altro dubbio...se non hai capito qualcosa dimmelo che te lo rispiego!
Senti, la terza parte (quella dove ti spiego il "Portar dentro/fuori" la sto finendo, te la posto stasera che ora nn posso stare al Pc!!
Tutto corretto aleio1...però ti sei dimenticato una cosa non di secondaria importanza! Nella maggior parte dei casi si mette il modulo solo se l'indice della radice è pari, mentre non è necessario se dispari. Però nel caso in cui io abbia un radicale il cui indice di radice è pari, se semplificabile con l'esponente del radicando in maniera da ottenere un nuovo radicale il cui indice di radice sia dispari, è necessario mettere il modulo sul radicando dopo la semplificazione, in quanto il suo valore deve rimanere positivo. Mi spiego meglio:
se ho questo generico radicale
radice-sesta(a^2)
dove non ci sono condizioni di esistenza in quanto un quadrato è sempre positivo, posso semplificare la radice-sesta con l'esponente 2 e ottengo
radice-cubica(a)
qui però è necessario mettere il modulo su a, affinchè il valore iniziale che era sempre positivo rimanga tale; il corretto passaggio è dunque questo
radice-sesta(a^2) = radice-cubica(|a|)
infatti se non metto il modulo avrei
un qualcosa di positivo = un qualcosa che può essere sia positivo che negativo
e ciò non può accadere nel caso positivo = negativo!!
Spero di essere stato esaurente e chiaro...ho voluto puntualizzare la questione perchè a causa di un errore del genere, nel compito di mate la prof mi ha penalizzato e ho preso 9 e mezzo quando avrei potuto prendere 10 :con....un'ingiustizia!!
Ciao!!
se ho questo generico radicale
radice-sesta(a^2)
dove non ci sono condizioni di esistenza in quanto un quadrato è sempre positivo, posso semplificare la radice-sesta con l'esponente 2 e ottengo
radice-cubica(a)
qui però è necessario mettere il modulo su a, affinchè il valore iniziale che era sempre positivo rimanga tale; il corretto passaggio è dunque questo
radice-sesta(a^2) = radice-cubica(|a|)
infatti se non metto il modulo avrei
un qualcosa di positivo = un qualcosa che può essere sia positivo che negativo
e ciò non può accadere nel caso positivo = negativo!!
Spero di essere stato esaurente e chiaro...ho voluto puntualizzare la questione perchè a causa di un errore del genere, nel compito di mate la prof mi ha penalizzato e ho preso 9 e mezzo quando avrei potuto prendere 10 :con....un'ingiustizia!!
Ciao!!
SuperGaara...grazie della puntualizzazione...ankora manca la 3 parte cmq...la sto finendo...k nn ho avuto tempo in qst giorni...cmq domani la posto...
P.S. SuperGaara...leggi/vedi Naruto??
P.S. SuperGaara...leggi/vedi Naruto??
Certo!! Conosco abbastanza bene la saga, perchè ho visto le puntate della prima serie su youtube (mi sono interrotto con il filler perchè sinceramente è troppo noioso--> sto parlando del filler) e ho visitato qualche sito che ne parlava!
Lo leggi/vedi anche tu? Naturalmente spero non quello che trasmettono su italia1...
Lo leggi/vedi anche tu? Naturalmente spero non quello che trasmettono su italia1...
Purtroppo si...quello ke trasmettono su Italia 1...ho visto qlk puntata in lingua originale cn i sottotitoli in italiano...ed è molto meglio...ma ora mi accontento di Italia 1
...mmm...:con
Se ne hai la possibilità ti consiglio di vedere le puntate in lingua originale con i sottotitoli o italiani o inglesi...le grafiche, le musiche, i dialoghi e le scene sono differenti! Infatti su italia 1 spesso e volentieri modificano le scene, evitando magari le parti più violente o censurando quelle più hot. Inoltre i dialoghi sono modificati e io stesso ho riscontrato gravi errori di traduzione. Per non parlare poi dei momenti cruciali del cartone, che sono nettamente accelerati e si rischia il più delle volte di non riuscire a cogliere il bello della storia. Insomma, italia 1, per ovvi motivi televisivi, è stata costretta a modificare molto, ma ne è uscito un vero disastro...:mad!!! D'altra parte ciò succede sempre, per esempio anche con Dragonball :(!!
Comunque questa è la realtà italiana e quelli sono solo cartoni giapponesi: quindi non c'è un vero motivo di preoccuparsi così tanto :yes!!
Grazie di avermi fatto sfogare...:lol...e di aver chiacchierato con me!!
Ciao e alla prossima!!
P.S: se avrò problemi con la scuola allora adesso so da chi venire.....ok?!
Se ne hai la possibilità ti consiglio di vedere le puntate in lingua originale con i sottotitoli o italiani o inglesi...le grafiche, le musiche, i dialoghi e le scene sono differenti! Infatti su italia 1 spesso e volentieri modificano le scene, evitando magari le parti più violente o censurando quelle più hot. Inoltre i dialoghi sono modificati e io stesso ho riscontrato gravi errori di traduzione. Per non parlare poi dei momenti cruciali del cartone, che sono nettamente accelerati e si rischia il più delle volte di non riuscire a cogliere il bello della storia. Insomma, italia 1, per ovvi motivi televisivi, è stata costretta a modificare molto, ma ne è uscito un vero disastro...:mad!!! D'altra parte ciò succede sempre, per esempio anche con Dragonball :(!!
Comunque questa è la realtà italiana e quelli sono solo cartoni giapponesi: quindi non c'è un vero motivo di preoccuparsi così tanto :yes!!
Grazie di avermi fatto sfogare...:lol...e di aver chiacchierato con me!!
Ciao e alla prossima!!
P.S: se avrò problemi con la scuola allora adesso so da chi venire.....ok?!
Ok...io sn sempre disponibile x tutti!!!Se hai bisogno dimmi pure;)
:yes Contaci...anche se credo ti verrò a trovare più per confrontare idee che per veri e propri aiuti, nel senso che grazie a Dio a scuola me la cavo piuttosto bene e mi piace avere contatti con altri che se ne intendono di materie scientifiche...come avvenuto prima con te ad esempio ;)!!!
Ora io vado a nanna, buona notte!! A presto!!
Ora io vado a nanna, buona notte!! A presto!!
RADICALI: Parte III
Allora...abbiamo detto fin'ora che i radicali si comportano come dei monomi.
Tuttavia bisogna capire che sono dei monomi particolari, ed in particolare sono delle speciali potenze la cui base rappresenta il radicando ed il cui esponente, è espresso sotto forma di una frazione unitaria (ovvero che ha numeratore uguale ad 1) il cui denominatore rappresenta l'indice della radice.
Questo passaggio è un pò complicato, quindi segui attentamente.
sqrt(3a^3) = (3a^3)^1/2 cioè:
Radice quadrata di 3a alla terza è uguale a 3a alla terza tutto elevato ad un mezzo.
Prendendo in esame (3a^3)^1/2, osserviamo che:
- (3a^3) è la base della potenza e rappresenta il radicando del radicale;
- 1/2 è una frazione unitaria (ovvero che ha numeratore uguale ad 1) il cui denominatore, 2, indica l'indice della radice, che è appunto una radice quadrata.
Tenuto presente ciò, si possono effettuare le seguenti trasformazioni:
3*sqrt(4a^3*b^2) = 3*(4a^3*b^2)^1/2;
2*radice-cubica(6x*3y^2) = 2*(6x*3y^2)^1/3; ==>N.B. Il denominatore è 3 perchè è una radice cubica.
Allora...abbiamo detto fin'ora che i radicali si comportano come dei monomi.
Tuttavia bisogna capire che sono dei monomi particolari, ed in particolare sono delle speciali potenze la cui base rappresenta il radicando ed il cui esponente, è espresso sotto forma di una frazione unitaria (ovvero che ha numeratore uguale ad 1) il cui denominatore rappresenta l'indice della radice.
Questo passaggio è un pò complicato, quindi segui attentamente.
sqrt(3a^3) = (3a^3)^1/2 cioè:
Radice quadrata di 3a alla terza è uguale a 3a alla terza tutto elevato ad un mezzo.
Prendendo in esame (3a^3)^1/2, osserviamo che:
- (3a^3) è la base della potenza e rappresenta il radicando del radicale;
- 1/2 è una frazione unitaria (ovvero che ha numeratore uguale ad 1) il cui denominatore, 2, indica l'indice della radice, che è appunto una radice quadrata.
Tenuto presente ciò, si possono effettuare le seguenti trasformazioni:
3*sqrt(4a^3*b^2) = 3*(4a^3*b^2)^1/2;
2*radice-cubica(6x*3y^2) = 2*(6x*3y^2)^1/3; ==>N.B. Il denominatore è 3 perchè è una radice cubica.
RADICALI: Parte IV
Capito questo passaggio importante, bisogna richiamare un'importante proprietà delle potenze, ovvero la proprietà della potenza di una postenza.
(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8 cioè:
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Questa proprietà si può applicare anche ai monomi:
(3a^4)^3 = [3a^(4*3)] = 3a^12
(3a^2*b^3*2c)^5 = [3a^(2*5)*b^(3*5)*2c^(1*5)] = (3a^10*b^15*2c^5)
Perchè è importante questa proprietà???
Perchè come spesso si dice è importante "Portare dentro/fuori alcune "cose" dalla radice"
Facciamo un esempio:
radice-cubica(2a^3) = (2a^3)^1/3
Applicando la proprietà delle potenze che abbiamo visto prima si ha:
(2a^3)^1/3 = [2a^(3*1/3)] = 2a^1 = 2a
In questo modo abbiamo portato (2a^3) fuori dalla radice.
Tuttavia non è sempre così facile, infatti non sempre l'esponente del monomio coincide con l'indice della radice.
Prendiamo in considerazione un'altro esempio:
sqrt(5x^4) = (5x^4)^1/2 = [5x^(4*1/2)] = 5x^2
Abbiamo portato fuori dalla radice 5x^4, che fuori dalla radice diventa 5x^2.
Ma questo è ancora un caso particolare, infatti non sempre l'esponente del monomio è un multiplo dell'indice della radice.
Consideriamo ancora un altro esempio:
3*radice-quarta(x^2) = 3*(x^2)^1/4 = 3*[x^(2*1/4)] = 3*x^1/2 = 3*sqrt(x)
Vi è infine un altro caso, il più generale, in cui indice della radice ed esponente del radicando, sono primi tra loro.
Consideriamo:
radice-cubica(2a^4) = (2a^4)^1/3 = [2a^(4*1/3)] = 2a^4/3
In questo caso si è ritornati alla forma precedente, indatti il denominatore, 3 indica l'indice della radice, mentre il numeratore (che prima avevamo considerato per semplicità uguale ad 1) è 4, ed indica il grado del monomio.
Tuttavia si noti che 4/3 = 3/3 + 1/3, pertanto:
2a^4/3 = (2a^3/3)*(2a^1/3) = (2a)*radice-cubica(2a)
Capito questo passaggio importante, bisogna richiamare un'importante proprietà delle potenze, ovvero la proprietà della potenza di una postenza.
(3^2)^4 = 3^(2*4) = 3^8 cioè:
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Questa proprietà si può applicare anche ai monomi:
(3a^4)^3 = [3a^(4*3)] = 3a^12
(3a^2*b^3*2c)^5 = [3a^(2*5)*b^(3*5)*2c^(1*5)] = (3a^10*b^15*2c^5)
Perchè è importante questa proprietà???
Perchè come spesso si dice è importante "Portare dentro/fuori alcune "cose" dalla radice"
Facciamo un esempio:
radice-cubica(2a^3) = (2a^3)^1/3
Applicando la proprietà delle potenze che abbiamo visto prima si ha:
(2a^3)^1/3 = [2a^(3*1/3)] = 2a^1 = 2a
In questo modo abbiamo portato (2a^3) fuori dalla radice.
Tuttavia non è sempre così facile, infatti non sempre l'esponente del monomio coincide con l'indice della radice.
Prendiamo in considerazione un'altro esempio:
sqrt(5x^4) = (5x^4)^1/2 = [5x^(4*1/2)] = 5x^2
Abbiamo portato fuori dalla radice 5x^4, che fuori dalla radice diventa 5x^2.
Ma questo è ancora un caso particolare, infatti non sempre l'esponente del monomio è un multiplo dell'indice della radice.
Consideriamo ancora un altro esempio:
3*radice-quarta(x^2) = 3*(x^2)^1/4 = 3*[x^(2*1/4)] = 3*x^1/2 = 3*sqrt(x)
Vi è infine un altro caso, il più generale, in cui indice della radice ed esponente del radicando, sono primi tra loro.
Consideriamo:
radice-cubica(2a^4) = (2a^4)^1/3 = [2a^(4*1/3)] = 2a^4/3
In questo caso si è ritornati alla forma precedente, indatti il denominatore, 3 indica l'indice della radice, mentre il numeratore (che prima avevamo considerato per semplicità uguale ad 1) è 4, ed indica il grado del monomio.
Tuttavia si noti che 4/3 = 3/3 + 1/3, pertanto:
2a^4/3 = (2a^3/3)*(2a^1/3) = (2a)*radice-cubica(2a)
Tuttavia, sarebbe troppo lungo applicare ogni volta questo procedimento, pertanto si ricorre ad un metodo che ricalca i passaggi sopra citati:
- Si fa la divisione intera (ovvero il quoziente non deve contenere decimali) tra l'esponente del monomio sotto radice e l'indice della radice.
- Il quoziente(intero) rappresenta l'esponente della quantità che va "portata fuori".
- Il resto della divisione, rappresenta l'esponente della quantità che rimane sotto la radice.
Esempi:
1) radice-cubica(b^7)
Eseguiamo la divisione intera 7(l'esponente del monomio sotto radice) : 3 (l'indice della radice che è cubica) ==> 7:3=2 con resto 1
Pertanto, il quoziente della divisione, 2 sarà l'esponente di "b" portato fuori; il resto della divisione, 1, sarà l'esponente di "b" che rimane dentro.
Si avrà percui:
radice-cubica(b^7) = (b^2)*radice-cubica(b^1) = (b^2)*radice-cubica(b)
2) sqrt(3*a^2*b^3)
Procediamo analizzando ciascun monomio che compone il radicando:
- "3" non può essere portato fuori per ovvie ragioni;
- "a^2" ==> Eseguiamo la divisione 2:2 = 1 con resto 0.
- "b^3" ==> Eseguiamo la divisione 3:2 = 1 con resto 1.
Pertanto si avrà:
- Portiamo fuori "a^2" e l'espressione diventa: a*sqrt(3*b^3) ==>N.B. Scrivere a^0 non avrebbe senso in quanto a^0 =1 che è l'elemento neutro della moltiplicazione.
- Portiamo fuori "b^3" e l'espressione diventa: a*b*sqrt(3*b)
Detto ciò:
sqrt(3*a^2*b^3) = a*b*sqrt(3*b)
- Si fa la divisione intera (ovvero il quoziente non deve contenere decimali) tra l'esponente del monomio sotto radice e l'indice della radice.
- Il quoziente(intero) rappresenta l'esponente della quantità che va "portata fuori".
- Il resto della divisione, rappresenta l'esponente della quantità che rimane sotto la radice.
Esempi:
1) radice-cubica(b^7)
Eseguiamo la divisione intera 7(l'esponente del monomio sotto radice) : 3 (l'indice della radice che è cubica) ==> 7:3=2 con resto 1
Pertanto, il quoziente della divisione, 2 sarà l'esponente di "b" portato fuori; il resto della divisione, 1, sarà l'esponente di "b" che rimane dentro.
Si avrà percui:
radice-cubica(b^7) = (b^2)*radice-cubica(b^1) = (b^2)*radice-cubica(b)
2) sqrt(3*a^2*b^3)
Procediamo analizzando ciascun monomio che compone il radicando:
- "3" non può essere portato fuori per ovvie ragioni;
- "a^2" ==> Eseguiamo la divisione 2:2 = 1 con resto 0.
- "b^3" ==> Eseguiamo la divisione 3:2 = 1 con resto 1.
Pertanto si avrà:
- Portiamo fuori "a^2" e l'espressione diventa: a*sqrt(3*b^3) ==>N.B. Scrivere a^0 non avrebbe senso in quanto a^0 =1 che è l'elemento neutro della moltiplicazione.
- Portiamo fuori "b^3" e l'espressione diventa: a*b*sqrt(3*b)
Detto ciò:
sqrt(3*a^2*b^3) = a*b*sqrt(3*b)
Ecco tutto ciò che c'è da sapere sui radicali per gli esercizi di base...spero di non essere stato trp lungo e contorto!!! :) ;)
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