Radicali doppi cubici
un saluto al forum.
un amico mi ha chiesto di semplificare questi radicali
premetto di essere un po' arrugginito, ma googlando in rete ho trovato questa pagina https://digilander.libero.it/fantinma/r ... cubici.htm che mi ha permesso di risolvere l' esercizio 10a).
per il 10b) quel procedimento mi sembra inapplicabile (o vado in crisi io) perchè la regola di "vedere se ce ne è una per cui (n-p)/3 è un quadrato perfetto" pare non funzionare: infatti (1-5)/3 oppure (-1-5)/3 non sono quadrati perfetti.
con la calcolatrice quella somma di radicali viene =1, quindi ci deve essere un modo per semplificare anche il 10b)...
qualcuno gentilmente mi rinfresca le idee?
ho un po' cercato sul forum, ma dei 209 risultati che mi escono trovo solo radicali di radice quadrata e non cubica...
poi vedrò se riesco a semplificare gli altri radicali...
grazie.
un amico mi ha chiesto di semplificare questi radicali
premetto di essere un po' arrugginito, ma googlando in rete ho trovato questa pagina https://digilander.libero.it/fantinma/r ... cubici.htm che mi ha permesso di risolvere l' esercizio 10a).
per il 10b) quel procedimento mi sembra inapplicabile (o vado in crisi io) perchè la regola di "vedere se ce ne è una per cui (n-p)/3 è un quadrato perfetto" pare non funzionare: infatti (1-5)/3 oppure (-1-5)/3 non sono quadrati perfetti.
con la calcolatrice quella somma di radicali viene =1, quindi ci deve essere un modo per semplificare anche il 10b)...
qualcuno gentilmente mi rinfresca le idee?
ho un po' cercato sul forum, ma dei 209 risultati che mi escono trovo solo radicali di radice quadrata e non cubica...
poi vedrò se riesco a semplificare gli altri radicali...
grazie.
Risposte
.
"sellacollesella":
Affinché valga la formula di riduzione: \[
{\color{red}{\sqrt[3]{x \pm y\sqrt{z}}}} = \underbrace{{\color{green}{\sqrt{\frac{y-z}{3}}}}}_u \pm {\color{blue}{\sqrt{z}}}
\] è necessario che la radice verde si semplifichi e risulti \(x = u^3+3uz\).
grazie della risposta...
ah quindi va verificata anche la seconda condizione?
posso trovare in rete quella formula di riduzione?
alla fine ero quasi rassegnato ad utilizzare la formula di cardano per l' equazione di terzo grado che si origina, ma presumo che quei ragazzi avessero avuto a che fare con una risoluzione più semplice, tipo la formula che mi hai segnalato tu...
"sellacollesella":
mentre circa l'esercizio 10b) occorre giochicchiare un po' coi numeri, ossia: \[
\begin{aligned}
\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}
& = \sqrt[3]{2+2\sqrt{\frac{5}{4}}} + \sqrt[3]{2-2\sqrt{\frac{5}{4}}} \\
& = \left(\sqrt{\frac{2-\frac{5}{4}}{3}}+\sqrt{\frac{5}{4}}\right) + \left(\sqrt{\frac{2-\frac{5}{4}}{3}}-\sqrt{\frac{5}{4}}\right) \\
& = 1. \\
\end{aligned}
\] Insomma, a differenza dei radicali doppi quadratici, per quelli cubici occorre lavorarci un po'.
eh ho come l' idea...
.
"sellacollesella":
Per un po' la tua risposta era sparita, poi è ricomparsa
sisi sono nuovo iscritto e come tale mi hanno mandato a dire che i primi 3 messaggi sono moderati preventivamente e così anche le modifiche; così mentre tu modificavi la tua risposta che appariva in tempo reale, io modificavo la mia che dopo la modifica spariva per andare nuovamente dal moderatore e ricompariva una volta approvata...
In ogni modo, nessun problema, nel frattempo ho ampliato la risposta cercando di entrare nei dettagli.
sì ho visto, mi hai risparmiato la fatica di andare in rete a vedere da dove scaturiva la formula con le relative condizioni da rispettare...
un doppio grazie allora...
Aggiungo un altro metodo di calcolo: ha il difetto di funzionare bene solo in esercizi come il 10b ma ha il pregio di richiedere solo la notissima
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$
Nel 10b. posto
$x=root(3)(2+sqrt(5))+root(3)(2-sqrt5)$
elevando al cubo ottengo
$x^3=2+sqrt5+2-sqrt5+3root(3)(4-5)(root(3)(2+sqrt(5))+root(3)(2-sqrt5))$
$x^3=4-3x->x^3+3x-4=0->(x-1)(x^2+x+4)=0$
L'annullarsi del primo fattore dà $x=1$; il secondo fattore non ha zeri reali.
Faccio poi una banalissima considerazione: di solito, gli esercizi sono un'applicazione della teoria. Non sarebbe opportuno vedere cosa è scritto nella parte teorica di quel testo?
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$
Nel 10b. posto
$x=root(3)(2+sqrt(5))+root(3)(2-sqrt5)$
elevando al cubo ottengo
$x^3=2+sqrt5+2-sqrt5+3root(3)(4-5)(root(3)(2+sqrt(5))+root(3)(2-sqrt5))$
$x^3=4-3x->x^3+3x-4=0->(x-1)(x^2+x+4)=0$
L'annullarsi del primo fattore dà $x=1$; il secondo fattore non ha zeri reali.
Faccio poi una banalissima considerazione: di solito, gli esercizi sono un'applicazione della teoria. Non sarebbe opportuno vedere cosa è scritto nella parte teorica di quel testo?
hehe $x^3+3x-4=(x-1)(x^2+x+4)$, la fattorizzazione dei polinomi, ai miei tempi non ne imbroccavo mezza manco se il polinomio me la gridava dal foglio... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
stavo pensando, visto che il forum offre tutti questi graziosi caddettini tipo latex o tipo quelli più semplici con il $, di utilizzare la bozza dei messaggi o mandarmi un pvt con le tracce delle soluzioni per poi inviarlo in bella notazione al mio amico...farò un figurone...
tanto ormai sono disabituato a scrivere a penna e penso farei più veloce con il pc...così invio anche i metodi che mi avete illustrato e gli esercizi li lascio a livello di traccia...
tanto ormai sono disabituato a scrivere a penna e penso farei più veloce con il pc...così invio anche i metodi che mi avete illustrato e gli esercizi li lascio a livello di traccia...
ringraziando tutti per le risposte, sono impantanato sul prodotto dei radicali con indice diverso, cioè l' es. 11a) e seguenti...
bisogna semplificare $root(3)(1-sqrt(2)) * root(6)(3+2sqrt(2))$ ($=-1$ con la calcolatrice)...
ho provato con la semplificazione delle radici cubiche indicata da @sellacolesella per la soluzione degli es. 10a) e 10b) ma niente da fare, qualsiasi trucchetto per semplificare la radice che origina\[ u = \pm \sqrt{\frac{y-z}{3}} \quad \] non funziona, nè per il primo nè per il secondo fattore, quindi forse il procedimento è diverso...
ho provato a portare tutto sotto radice cubica ma ottengo
$root(3)(1-sqrt(2)) * root(6)(3+2sqrt(2))=root(3)(sqrt(3+2sqrt(2))-sqrt(6+4sqrt(2)))$ e sono più scemo di prima...
ci deve essere qualche barbatrucco da scuola superiore che semplifica questo prodotto ma al momento non ho idee...
bisogna semplificare $root(3)(1-sqrt(2)) * root(6)(3+2sqrt(2))$ ($=-1$ con la calcolatrice)...
ho provato con la semplificazione delle radici cubiche indicata da @sellacolesella per la soluzione degli es. 10a) e 10b) ma niente da fare, qualsiasi trucchetto per semplificare la radice che origina\[ u = \pm \sqrt{\frac{y-z}{3}} \quad \] non funziona, nè per il primo nè per il secondo fattore, quindi forse il procedimento è diverso...
ho provato a portare tutto sotto radice cubica ma ottengo
$root(3)(1-sqrt(2)) * root(6)(3+2sqrt(2))=root(3)(sqrt(3+2sqrt(2))-sqrt(6+4sqrt(2)))$ e sono più scemo di prima...
ci deve essere qualche barbatrucco da scuola superiore che semplifica questo prodotto ma al momento non ho idee...
$ root(3)(1-sqrt(2)) * root(6)(3+2sqrt(2)) $ dobbiamo portare tutto sotto radice sesta, ma $ root(3)(1-sqrt(2)) $ è negativo, quindi prima di trasformarlo in radice sesta di un quadrato, porto fuori il segno
$ root(3)(1-sqrt(2)) * root(6)(3+2sqrt(2)) = -root(3)(sqrt(2)-1) * root(6)(3+2sqrt(2)) =$
$= - root(6)((sqrt(2)-1)^2) * root(6)(3+2sqrt(2)) =- root(6)((3-2sqrt2)(3+2sqrt(2))) =$
$= -root(6)(9-8)=-root(6)(1)=-1$
$ root(3)(1-sqrt(2)) * root(6)(3+2sqrt(2)) = -root(3)(sqrt(2)-1) * root(6)(3+2sqrt(2)) =$
$= - root(6)((sqrt(2)-1)^2) * root(6)(3+2sqrt(2)) =- root(6)((3-2sqrt2)(3+2sqrt(2))) =$
$= -root(6)(9-8)=-root(6)(1)=-1$
porc... 
grazie.
grazie.
Ciao[ot]mi incuriosisce il tuo mick, come lo hai scelto?[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo