Radicali doppi

[Bad90]

Sto vedendo i radicali doppi, ma non mi e' chiaro questa uguaglianza:
$ sqrt(a+sqrt(b) ) =(sqrt(a+sqrt(a^2-b) ) /2)+(sqrt(a-sqrt(a^2-b) ) /2) $

[giannirecanati]

Qui viene riportata la dimostrazione http://it.wikipedia.org/wiki/Radicale_doppio.

[Bad90]

Ma sono delle formule da imparare a memoria? Grazie.

[@melia]

Sì, ma si usano molto raramente, la cosa importante è sapere che esistono e le poche volte che servono sapere dove trovarle.

[Bad90]

"@melia":Sì, ma si usano molto raramente, la cosa importante è sapere che esistono e le poche volte che servono sapere dove trovarle.

Sono andato a rivedere questo teorema, il testo mi dice che conviene utilizzarla solo quando $ a^2-b $ è un quadrato perfetto
Se un giorno andro' all'università, diciamo Ingegneria...., dici che si utilizzano?

[giammaria2]

A me l'uso non sembra così raro neanche nelle medie superiori. Di solito non perdo tempo a portare sotto radice l'eventuale coefficiente della radice interna; per esempio, di fronte a $sqrt(3+2sqrt 2)$ calcolo $c^2=3^2-(2sqrt2)^2$ e se ottengo un quadrato so che il radicale doppio è spezzabile in radicali semplici. Posso poi farlo con la formula o con altri ragionamenti.
Anche se Bad90 per ora non può capirmi aggiungo che quella formula è un metodo veloce per calcolare la radice quadrata di numeri complessi ($i$ è una radice quadrata); peccato che i testi non la citino a quel proposito.

[Bad90]

Ti ringrazio per avermi fatto vedere un esempio, comunque sto studiando con quattro testi perche non voglio farmi sfuggire nulla. Uno dei miei testi, parla poco di questo, adesso vedo di concentrarmi su questo. Resta il fatto che non mi e' tanto chiara la dimostrazione del teorema. Grazie mille.

[giannirecanati]

In genere non si usano per alcune ragioni (lo dico perché sto facendo il secondo anno).
Prendo come esempio quello di Giammaria \(\displaystyle 3+2\sqrt 2 \) con un po' di occhio si riconoscono spesso dei quadrati di binomio. Qui ad esempio notiamo che \(\displaystyle 3+2\sqrt 2 =(1+ \sqrt 2)^2 \). Quando i numeri sono piccoli è sempre abbastanza semplice fare questo gioco e si risparmia molto tempo e la fatica di ricordarsi la formula.

[giammaria2]

E' vero che nei casi molto semplici lo si riconosce ad occhio e si risparmia tempo e fatica, ma già di fronte a $sqrt(9+4 sqrt 2)$ sorge spontanea la domanda "si potrà metterlo in forma più semplice o no?". Prima di rompermi la testa in tentativi vari calcolo $c^2$: se è un quadrato so che si può e allora posso anche pensare che è $(2 sqrt 2+1)^2$ (a questo mi riferivo parlando di altri ragionamenti); se invece non è un quadrato non ci perdo altro tempo perché so che è inutile.
Se poi i numeri sono un po' complicati la formula diventa indispensabile; è già di aiuto per $sqrt(8+4 sqrt 3)$.
Colgo l'occasione per mettere in guardia da un errore possibile nel metodo "a occhio". I miei calcoli successivi contengono un errore: quale?

$sqrt(3-2 sqrt2)=sqrt ((1-sqrt 2)^2)=1-sqrt 2$

[Bad90]

Ovviamente io ad occhio penso che tu non abbia utilizzato la formula risolutiva dei radicali doppi! Giusto?

[@melia]

L'esercizio contiene un errore anche se $(1-sqrt2)^2=3-2sqrt2$

[giannirecanati]

Correzione : \(\displaystyle \sqrt{{{{\left({1}-\sqrt{{2}}\right)}}^{{2}}}}=|{1}-\sqrt{{2}}| \)

[Bad90]

"giannirecanati":Correzione : \(\displaystyle \sqrt{{{{\left({1}-\sqrt{{2}}\right)}}^{{2}}}}=|{1}-\sqrt{{2}}| \)

Provo a dire la mia ma correggetemi se sbaglio....
La semplificazione porta ad un valore assoluto, cioe' ad un valore che potrebbe essere sia positivo che negativo, giusto?

[@melia]

No, una radice quadrata è positiva per definizione, quindi $sqrt(3-2sqrt2)=sqrt((1-sqrt2)^2)=|1-sqrt2|=sqrt2-1$

[Bad90]

Scusate ma sara' io che non ho le idee chiare, ma il valore assoluto si ha quando? Provo dire quando si ha un valore assoluto...
Se io ho:
$ sqrt(2^2) =|2| =+-2 $

Sara' corretto?

[giammaria2]

No: valore assoluto vuol dire il numero preso col segno più. Quindi $|2|=2$ e $|-2|=2$; la regola generale è che il valore assoluto di un numero positivo è il numero stesso, mentre il valore assoluto di un numero negativo è il numero cambiato di segno.
Quando nel risultato di una radice compare un meno bisogna stare attenti perché il risultato deve essere positivo: $1-sqrt 2$ non lo è.

[Obidream]

Forse cosi sarebbe corretto $sqrt((+-2)^2)=|+-2|=2$ ?

[Bad90]

"giammaria":No: valore assoluto vuol dire il numero preso col segno più. Quindi $|2|=2$ e $|-2|=2$; la regola generale è che il valore assoluto di un numero positivo è il numero stesso, mentre il valore assoluto di un numero negativo è il numero cambiato di segno.
Quando nel risultato di una radice compare un meno bisogna stare attenti perché il risultato deve essere positivo: $1-sqrt 2$ non lo è.

Perche' $ 1-sqrt(2) $ non lo e'? Da cosa si capisce?

[Obidream]

$1-sqrt(2)>0$ implica $1>sqrt(2)$ Se la disuguaglianza fosse vera dovrebbe conservarsi anche elevando al quadrato ambo i membri:

$1^2>sqrt(2)^2$ ma ciò porta ad un assurdo quindi $1

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Segnala

[giammaria2]

"Bad90": Perche' $ 1-sqrt(2) $ non è positivo? Da cosa si capisce?

Obidream ti ha dato una risposta elegante e io te ne do una più banale: $sqrt 2=1,4...$ ed ora ti basta fare la sottrazione.

[Bad90]

Ok, grazie amici. Sul testo che ho, mi fa vedere la risoluzione di sistemi del tipo:
$ |x+1|=5x $

Dove bisogna risolvere due sistemi:

Sistema 1

$ { ( x+1>=0 ),( x+1=5x ):}=> $ $ { ( x>=-1 ),( -4x=-1 ):}=> $ $ { ( x>=-1 ),( x=1/4 ):}=> $ Accettabile! Ovviamente ho moltiplicato per $ -1 $ questo $ ( -4x=-1 ) $

Sistema 2

$ { ( x+1<0 ),( -x-1=5x ):}=>{ ( x<-1 ),( x=-1/6 ):} $ Non accettabile! Segue che l'unica soluzione accettabile è $ x=1/4 $

Qualche tempo fà ho studiato questi argomenti, ma il testo spesso ti fa eseguire gli esercizi in modo molto meccanico e quindi spesso mi sono soffermato ad operare, senza andare in fondo sui concetti!