Radicali doppi

[eminova]

Dato un radicale doppio $\sqrt{a\pm\sqrt{b}}$ sappiamo che se $a^2-b$ è un quadrato perfetto, allora può essere ridotto alla somma o differenza di due radicali semplici. Ma è anche vero il contrario? cioè che se $a^2-b$ non è un quadrato perfetto allora la riduzione a somma di due radicali semplici è impossibile?

[donald_zeka]

No, $sqrt(a+-sqrt(b))$ può SEMPRE essere ridotto a somma o differenza di due radicali, a patto che $a^2-b$ sia positivo. Quando tu trasformi un radicale doppio non ottieni altro che due altri radicali doppi, ma se $a^2-b$ non è un quadrato perfetto allora questa trasformazione è inutile dato che torneresti al punto di partenza. In pratica quindi, se $a^2-b$ non è un quadrato ed è positivo, la trasformazione si può fare, ma sarebbe del tutto inutile.

[eminova]

D'accordo, ma io chiedo che i due radicali della somma ( o differenza) siano semplici. A d esempio: se ho $sqrt{7+\sqrt{14}}$ vedo che $a^2-b= 35$ non è un quadrato, mi basta per essere certo che non esintono $p,q$ tali che $sqrt{7+\sqrt{14}}=\sqrt{p}+\sqrt{q}$? E se sì, come si fa dimostrarlo?

[donald_zeka]

Un radicale doppio si può trasformare solo in una somma di RADICALI DOPPI, non SEMPLICI. Questi diventano semplici se e solo se $a^2-b$ è un quadrato.

[donald_zeka]

https://it.m.wikipedia.org/wiki/Radicale_doppio Qui è spiegato il procedimento per bene

[eminova]

Tutto questo mi è chiaro. Ma forse non è chiara la mia domanda. Se $a^2-b$ non è un quadrato perfetto siamo sicuri che il radicale doppio non può essere scritto come somma di radicali semplici magari in qualche altro modo diverso da quello che si ottiene con la nota formula?

[@melia]

Supponiamo che $sqrt(a+sqrtb) =sqrtp+sqrtq$ con $a$, $b$, $p$ e $q$ numeri razionali positivi.
Elevando al quadrato si ottiene
$a+sqrtb = p+2sqrt(pq) +q$, siccome i numeri $a$, $b$, $p$ e $q$ sono tutti razionali dall'uguaglianza si ricava che
$a= p+q$ e $sqrtb= 2sqrt(pq)$ che diventa
$\{(a= p+q),(b=4pq):} => \{( p+q=a),(pq=b/4):} $ questo si riduce a dover trovare due numeri noti la somma e il prodotto e si può risolvere attraverso l'equazione di secondo grado $x^2-ax+b/4=0$ che ammette soluzioni razionali solo se il $Delta$ è un quadrato, ma $Delta=a^2-b$.
Riassumendo
Il radicale doppio è scrivibile come somma di radicali semplici se solo se $a^2-b$ è un quadrato.

[eminova]

Grazie! A parte l'errore di scrittura ( il termine noto è $b/4 $ non $b/a$) la dimostrazione funziona.

[@melia]

Corretto l'errore di battitura.
Prego.