Radicali

[chiaraparisi]

salve, allora io sto studiando i radicali ma non capisco questa cosa
a>0 e n pari= il radicale assume due valori opposti
rad9=+3

[carlogiannini]

[math](+3)^2=+9\\(-3)^2=+9\\quindi\\\sqrt{+9}=\pm3[/math]

.
Siccome la radice è l'operazione inversa della potenza, la radice N-esima di un numero "a" è (se esiste) quel numero "b" che elevato alla n-esima Potenza mi da "a".
Cioè:

[math]\sqrt{a}=b\ se\ e\ solo\ se\ b^2=a[/math]

Aggiunto 1 ora 11 minuti più tardi:

Io ti ho fatto l'esempio con la radice quadrata ma ovviamente il discorso vale per tutte le radici "pari" perchè nelle potenze "pari" i segni MENO si "annullano" a due a due quindi

[math](+a)^{2n}=(-a)^{2n}=+a^{2n}[/math]

Aggiunto 5 ore 4 minuti più tardi:

Dire che

[math]\sqrt9=3[/math]

.
vale SOLO in ambito ARITMETICO, cioè CONSIDERANDO SOLO I NUMERI NATURALI, o comunque SOLO I NUMERI POSITIVI.
In campo ALGEBRICO, cioè considerando l'insieme R dei numeri Reali (e quindi ANCHE i numeri negativi) è obbligatorio considerare:

[math]\sqrt[2n]{a}=\pm b[/math]

.
N.B. come vedi come indice della radice ho scritto "2n" per indicare un numero SICURAMENTE PARI (qualunque numero naturale moltiplicato per DUE è PARI).
Quando voglio indicare un numero SICURAMENTE DISPARI scriverò "2n+1".
NN.BB. Non so se avete fatto i NUMERI IMMAGINARI (e quindi quelli COMPLESSI).
Brevemente:
se introduciamo PER DEFINIZIONE

[math]\sqrt{-1}=i\\cioè\\i^2=-1[/math]

,
.
e definiamo "i" come UNITA' IMMAGINARIA, allarghiamo l'insieme R dei numeri Reali all'insieme C dei numeri complessi dove la radice di un numero ESISTE SEMPRE, anzi:
Nel campo C dei numeri complessi le radici n-esime di (qualunque) numero sono SEMPRE esattamente n.
Esempio:
le radici quadrate di "-1" sono DUE

[math]\sqrt{-1}=\pm i\\poi\\\sqrt[4]{-1}=\pm 1\ e\ \pm i[/math]

.
.
quindi sono QUATTRO .
ecc. ecc

[chiaraparisi]

fin qui ho capito,
nel caso di quindi nel caso di a pari i segni negativi si eliminano.
scusa se disturbo sempre,
nn capisco la proprietà invariantiva dei radicali

[carlogiannini]

Non "a" inteso come argomento della radice, ma "n" inteso come esponente.

[math](-1)^6=(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)=+1[/math]

. ,

[math](-1)^6=[(-1)(-1)][(-1)(-1)][(-1)(-1)]=[+1][+1][+1]=+1[/math]

. .
quindi NEL CAMPO REALE:

[math]\sqrt[6]{+1}=\pm 1[/math]

Aggiunto 38 minuti più tardi:

Proprietà invariantiva
Potenza e radice sono operazioni una l'inversa dell'altra:

[math]\sqrt[2]{(x)^2}=(\sqrt[2]x)^2=x[/math]

.
.

[math]\sqrt[3]{x^2}=\sqrt[6]{x^4}=\sqrt[9]{x^6}=\sqrt[12]{x^8}=ecc.\ ecc.[/math]

.
.
cioė se moltiplico indice ed esponente per lo stesso numero il risultato (radicale) non cambia.
In realtà il più delle volte si usa al contrario (cioè DIVIDENDO) per semplificare le radici.
esempio:

[math]\sqrt[4]9=\sqrt[4]{3^2}=\sqrt[2]3[/math]

.
.
L'unico caso in cui si "alza" l'esponente di una radice ė quando si devono moltiplicare due radici con indice diverso. Allora bisogna fare il m.c.m tra gli indici. Esempio:

[math]\sqrt[4]{a^3}*\sqrt[5]{b^2}=\sqrt[20]{a^{15}}*\sqrt[20]{b^8}=\sqrt[20]{a^{15}b^8}[/math]

.
.
in pratica si fa esattamente come nella somma di due frazioni:
20 diviso 4 = 5
poi 5 per 3 = 15 (esponente di a)
poi
20 : 5= 4
poi 4 per 2 = 8 (esponente di b)
.
fammi sapere......

[chiaraparisi]

la proprietà invariantiva significa dividere o moltiplicare indice e esponente ?

[carlogiannini]

la proprietà invariantiva ci dice che
moltiplicando o dividendo sia l'indice che l'esponente il risultato non cambia.
questo si affianca anche al fatto che la radice si può esprimere come esponente frazionario

[math]\sqrt{a}=\sqrt[2]{a^1}=a^{\frac{1}{2}}\\\sqrt[4]{a^3}=a^{\frac{3}{4}}\\\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}[/math]

.
.
Quindi esponente e indice sono rispettivamente numeratore e denominatore, per cui valgono le regole di semplificazione delle frazioni:

[math]\frac{am}{an}=\frac{m}{n}[/math]

,
e viceversa.
Così è più chiaro, o è peggio?
Fammi sapere

[chiaraparisi]

no cosìè molto chiaro, ma anche prima sei sempre chiarissimo sono io che ho difficoltà con la mate.
In questo caso:
4sqrta^2b^6=
cosa devo fare? Scusami ma nn so scrivere con i codici di scuola.net

[carlogiannini]

Se intendi

[math]\sqrt[4]{a^2b^6}=\sqrt[4]{(a^1b^3)^2}=\sqrt[2]{ab^3}[/math]

.
.
in pratica dividi per "2" sia l'indice che TUTTI gli esponenti

[chiaraparisi]

scusa se disturbo semprea me viene aeb^2
ho capito non potendo fare 2 diviso sei perchè diventa 3?

[carlogiannini]

Ė il contrario: devi fare 6 diviso 2 = 3
il passaggio mi sembra chiaro: si divide per 2 sia l'indice della radice
(4:2=2)
sia TUTTI gli esponenti "sotto radice"
2:2=1 (esponente di a)
6:2=3 (esponente di b)

[chiaraparisi]

grazie ora mi è molto chiaro gentilissim