Radicale quadratico doppio
Nell'esercizio che sto facendo, mi viene chiesto di trasformare il radicale doppio $ (sqrt(x-sqrt(x^2-y^2) )) $
ma non capisco quando mi dice che :
Poichè $ a^2-b=x^2-x^2+y^2=y^2 $ è un quadrato perfetto.
Saluti.
ma non capisco quando mi dice che :
Poichè $ a^2-b=x^2-x^2+y^2=y^2 $ è un quadrato perfetto.
Saluti.
Risposte
"Bad90":
Nell'esercizio che sto facendo, mi viene chiesto di trasformare il radicale doppio $ (sqrt(x-sqrt(x^2-y^2) )) $
ma non capisco quando mi dice che :
Poichè $ a^2-b=x^2-x^2+y^2=y^2 $ è un quadrato perfetto.
Saluti.
Esiste una formula che riguarda i radicali doppi e cioè questa:
$sqrt(A +- sqrt(B)) = sqrt((A + sqrt(A^2-B))/2)+-sqrt((A - sqrt(A^2-B))/2)$.
Se $A^2-B$ è un quadrato perfetto, allora questa formula consente di esprimere un radicale doppio come somma di due radicali semplici, perché il radicale interno si semplifica con il quadrato ($A^2-B$).
Nell'esempio che hai tu ($sqrt(x-sqrt(x^2-y^2))$), $A=x$ e $B=x^2-y^2$. Allora $A^2-B=x^2-(x^2-y^2)=y^2$ che è un quadrato perfetto.
Quindi il radicale doppio si semplifica con la formula detta prima e $sqrt(A^2-B)=y$:
$sqrt(x-sqrt(x^2-y^2))=sqrt((x+y)/2)-sqrt((x-y)/2)$.
Ovviamente ti ringrazio, sei gentilissima 
Ma ancora una curiosità.... Ma perchè nella formula risolutiva compare il 2 al denominatore?
$sqrt(x-sqrt(x^2-y^2))=sqrt((x+y)/2)-sqrt((x-y)/2)$
Saluti.
Ma ancora una curiosità....
Ma perchè nella formula risolutiva compare il 2 al denominatore?$sqrt(x-sqrt(x^2-y^2))=sqrt((x+y)/2)-sqrt((x-y)/2)$
Saluti.
"Bad90":
Ovviamente ti ringrazio, sei gentilissima
Ma ancora una curiosità....
$sqrt(x-sqrt(x^2-y^2))=sqrt((x+y)/2)-sqrt((x-y)/2)$
Saluti.
Ciao!
Prova ad elevare entrambi i membri al quadrato:
t'imbatterai allora doppio prodotto dei radicali,e capiari la necessità di quei 2 per far quadrare i conti..
Saluti dal web.
Non riesco, posso chiederti di farmi vedere qualche passaggio in questo esempio?
Esempio:
Abbiamo $ sqrt(7+2sqrt(10) ) $
$ sqrt(7+sqrt(2^2*10))=sqrt((7+3)/2)+sqrt((7-3)/2)=sqrt(5)+sqrt(2) $
Questo 2 al denominatore, non voglio nella mia mente rimanga un assioma
, in questo caso esiste una spiegazione! 
Grazie mille.
Saluti
Esempio:
Abbiamo $ sqrt(7+2sqrt(10) ) $
$ sqrt(7+sqrt(2^2*10))=sqrt((7+3)/2)+sqrt((7-3)/2)=sqrt(5)+sqrt(2) $
Questo 2 al denominatore, non voglio nella mia mente rimanga un assioma
, in questo caso esiste una spiegazione! Grazie mille.
Saluti
"Bad90":
Non riesco, posso chiederti di farmi vedere qualche passaggio in questo esempio?
Esempio:
Abbiamo $ sqrt(7+2sqrt(10) ) $
$ sqrt(7+sqrt(2^2*10))=sqrt((7+3)/2)+sqrt((7-3)/2)=sqrt(5)+sqrt(2) $
......
Eleva al quadrato $sqrt(7+2sqrt(10))$: ottieni
$(sqrt(7+2sqrt(10)))^2 = 7+2sqrt(10)$.
Ora eleva al quadrato $sqrt(5)+sqrt(2)$: ottieni
$(sqrt(5)+sqrt(2))^2=5+2sqrt(5)*sqrt(2)+2=7+2sqrt(10)$, come sopra .....
Ciao chiarotta, se elevo al quadrato ottengo le soluzioni da te date, si arriva ad utilizzare il quadrato di un binomio, fin quì tutto chiaro Ma non sto capendo ancora come si arriva ad avere al denominatore il 2, insomma chi ha inventato il teorema risolutivo dei radicali quadratici doppi, in base a che cosa ha inserito il 2 al denominatore? Grazie mille. Saluti.
Ma non sto capendo ancora come si arriva ad avere al denominatore il 2, insomma chi ha inventato il teorema risolutivo dei radicali quadratici doppi, in base a che cosa ha inserito il 2 al denominatore? Grazie mille. Saluti.
Salve Bad90,
http://it.wikipedia.org/wiki/Radicale_doppio
Cordiali saluti
"Bad90":
Ma non sto capendo ancora come si arriva ad avere al denominatore il 2, insomma chi ha inventato il teorema risolutivo dei radicali quadratici doppi, in base a che cosa ha inserito il 2 al denominatore? Grazie mille. Saluti.
http://it.wikipedia.org/wiki/Radicale_doppio
Cordiali saluti
Se ho ben capito, alle origini si ha la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado! Grazie mille garnak. Saluti
Ancora alle prese con la comprensione di quella formula odiosa,eh?
Visto che non mi sembri convintissimo faccio un altro tentativo:
quando fai la "verifica al contrario"
(ovvero quella che fai quando dici che $sqrt(16)=4$ perchè $4^2=16$..),
ed elevi al quadrato il II° membro,
cosa accade?
Direi che ti viene $(a+sqrt(a^2-b))/2+(a-sqrt(a^2-b))/2+2*sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)*sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)=$
$=(a+sqrt(a^2-b)+a-sqrt(a^2-b))/2+sqrt(4*(a+sqrt(a^2-b))/2*(a+sqrt(a^2-b))/2))$=
=$(2*a)/2+sqrt((a+sqrt(a^2-b))*(a-sqrt(a^2-b)))=a+sqrt(a^2-(a^2-b))=a+sqrt(b)$:
capito ora perchè devono esserci quei due 2 in entrambi i denominatori del secondo membro?
Se mancasse anche solo uno di tali 2 la semplificazione,effettuata tra il 4 ed i due 2 nel terzo passaggio,
non sarebbe stata possibile,
ed il quadrato del II° membro non sarebbe $a+sqrt(b)$:
invece proprio quest'ultimo è il risultato che deve saltar fuori dallo sviluppo di quel quadrato di binomio un pò sui generis,
e dunque entrambi i 2 sono indispensabili in partenza..
Spero ora sia tutto chiaro,
perchè coltivo il dubbio che non saprei spiegartelo meglio:
saluti dal web.
Visto che non mi sembri convintissimo faccio un altro tentativo:
quando fai la "verifica al contrario"
(ovvero quella che fai quando dici che $sqrt(16)=4$ perchè $4^2=16$..),
ed elevi al quadrato il II° membro,
cosa accade?
Direi che ti viene $(a+sqrt(a^2-b))/2+(a-sqrt(a^2-b))/2+2*sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)*sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)=$
$=(a+sqrt(a^2-b)+a-sqrt(a^2-b))/2+sqrt(4*(a+sqrt(a^2-b))/2*(a+sqrt(a^2-b))/2))$=
=$(2*a)/2+sqrt((a+sqrt(a^2-b))*(a-sqrt(a^2-b)))=a+sqrt(a^2-(a^2-b))=a+sqrt(b)$:
capito ora perchè devono esserci quei due 2 in entrambi i denominatori del secondo membro?
Se mancasse anche solo uno di tali 2 la semplificazione,effettuata tra il 4 ed i due 2 nel terzo passaggio,
non sarebbe stata possibile,
ed il quadrato del II° membro non sarebbe $a+sqrt(b)$:
invece proprio quest'ultimo è il risultato che deve saltar fuori dallo sviluppo di quel quadrato di binomio un pò sui generis,
e dunque entrambi i 2 sono indispensabili in partenza..
Spero ora sia tutto chiaro,
perchè coltivo il dubbio che non saprei spiegartelo meglio:
saluti dal web.
Theras, se un assioma deve essere creduto in quanto tale, devo dire che tu riesci a farlo comprendere anche se non esistono spiegazioni Grazie mille, adesso capisco il significato di quel teorema 
Grazie mille. Saluti.
Grazie mille, adesso capisco il significato di quel teorema Grazie mille. Saluti.
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