Raccoglimento

[stagna1]

buongiorno a tutti, ho un dubbio banalissimo che non riesco a risolvere.

quando ho un'equazione del tipo $ax^2+bx=0$ posso raccogliere la x e risolvere il sistema ${(x=0),(ax+b=0):}$.

ora mi chiedo: questo metodo di risoluzione è valido anche se invece dello zero a secondo membro ho una costante? per le equazioni del tipo $ax^n+bx=k$ come mi comporto?

ad esempio se ho $ax^n+bx^(n-1)+...+cx=0$ posso passare a $x(ax^(n-1)+bx^(n-2)+...+c)=0$. ma se avessi $ax^n+bx^(n-1)+...+cx+d=0$ che faccio?

per i complessi mi risulta più facile in quanto eguaglio le parti reali e immaginarie del primo e del secondo membro. ma in $RR$ ?

grazie a chi mi vorrà rispondere.

[Lory314]

"stagna":buongiorno a tutti, ho un dubbio banalissimo che non riesco a risolvere.

quando ho un'equazione del tipo $ax^2+bx=0$ posso raccogliere la x e risolvere il sistema ${(x=0),(ax+b=0):}$.

Prima di tutti mi permetto di farti un'osservazione: penso che non sia totalmente corretto parlare di risolvere il sistema.
Quando si parla di sistema, sia esso composto da equazioni o disequazioni, si intende che tutte le equazioni/disequazioni siano soddisfatte CONTEMPORANEAMENTE. Se tu dici che risolvere l'equazione da te indicata equivale a risolvere quel sistema stai dicendo che l'equazione è verificata per quelle $x$ che risolvono il sistema ${(x=0),(ax+b=0):}$;
ossia solo se $x=0$ e $x=-\frac{b}{a}$. Ma $x$ non può essere CONTEMPORANEAMENTE uguale a due numeri distinti.
Più correttamente, dovresti dire, che:

$ax^2+bx+c=0$, da cui $x(ax+b)=0$.

Da questo segue che $x=0$ oppure $(ax+b)=0$, da cui $x=-\frac{b}{a}$.

La differenza tra quello che hai scritto te è la differenza tra le parole CONTEMPORANEMENTE e OPPURE.

Questo metodo di risoluzione funzionare perchè in $\mathbb{R}$ vale la legge di annullamento del prodotto: se il prodotto di due numeri è 0 allora uno dei due è 0: da qui deriva il fatto che poni $x=0$ oppure $ax+b=0$

"stagna":
ora mi chiedo: questo metodo di risoluzione è valido anche se invece dello zero a secondo membro ho una costante? per le equazioni del tipo $ax^n+bx=k$ come mi comporto?

ad esempio se ho $ax^n+bx^(n-1)+...+cx=0$ posso passare a $x(ax^(n-1)+bx^(n-2)+...+c)=0$. ma se avessi $ax^n+bx^(n-1)+...+cx+d=0$ che faccio?

per i complessi mi risulta più facile in quanto eguaglio le parti reali e immaginarie del primo e del secondo membro. ma in $RR$ ?

grazie a chi mi vorrà rispondere.

No, non vale.
Raccogliendo i termini dell'equazione $ax^n+bx=k$ hai che $x(ax^{n-1}+b)=k$.
Per quanto ti ho scritto sopra no. La legge di annullamento funziona se il $k=0$.

In questi casi il comportamento è abbastranza standard.
- Se $n=2$ è un'equazione di secondo grado, quindi dovrai utilizzare la solita formula
- Se $n>=3$ allora puoi scomporre il polinomio utilizzando Ruffini oppure è un prodotto notevole

Spero di esserti stato utile e di non aver detto stupidate.

[stagna1]

ti ringrazio per la risposta che conferma quanto pensavo e per la precisazione sul sistema. in effetti si tratta di un vel.

il dubbio sul raccoglimento mi veniva da $(z+i)^3=-2z^3$ che diventa $3z^3+3iz^2-3z-i=0$.

non ho voglia di sviluppare.

[giammaria2]

Non è necessario il metodo di Ruffini . Posto, per brevità di scrittura, $a=root(3)2$ la tua equazione diventa
$(z+i)^3+(az)^3=0=>(z+i+az)[(z+i)^2-az(z+i)+(a z)^2]=0=>...$

[stagna1]

grazie!