Quesito triangolo inscritto e circoscritto

[oltreoceano90]

siano S e s le aree del cerchio circoscritto e del cerchio inscritto, rispettivamente, in un triangolo equilatero di lato L. allora:
A. S è il doppio di s
B. S è il quadruplo di s
C. il triplo di S è uguale al quadruplo di s
D. il rapporto S/s dipende da L
E. le superfici dei due cerchi sono grandezza fra loro incommensurabili


qual'è la risposta giusta??e perchè??

[plum]

le due circonferenze hanno lo stesso centro O; prendi il lato AB e traccia l'altezza OH del triangolo AOB; OH coincide con il raggio del cerchio inscritto e OA coincide col raggio del cerchio circoscritto. l'angolo OAH vale la metà dell'angolo CAH, e cioè 30°. applicando il teorema dei triangoli rettangoli, trovi che

[math]OH=\frac{AH}{\sqrt3}[/math]

e che

[math]OA=2OH=2*\frac{AH}{\sqrt3}[/math]

l'area del cerchio iscritto vale

[math]A_i=\pi r^2=\pi\frac{AH^2}3[/math]

l'area del cerchio circoscritto vale

[math]A_c=\pi r^2=\pi\frac{4AH^2}3[/math]

facendo il rapporto S/s viene

[math]\frac Ss=\frac{\frac{4AH^2\pi}3}{\frac{AH^2\pi}3}=4[/math]