Quesito triangolo inscritto circoscritto

[oltreoceano90]

siano S e s le aree del cerchio circoscritto e del cerchio inscritto, rispettivamente, in un triangolo equilatero di lato L. allora:
A. S è il doppio di s
B. S è il quadruplo di s
C. il triplo di S è uguale al quadruplo di s
D. il rapporto S/s dipende da L
E. le superfici dei due cerchi sono grandezza fra loro incommensurabili


qual'è la risposta giusta??e perchè??

[Martino]

Hai provato a fare il conto? Si tratta di utilizzare un po' di trigonometria.

[oltreoceano90]

ma...che conti dovrei fare?? come faccio a calcolare le 2 aree?

[Martino]

Osserva la seguente figura.



Tu conosci L, che è la lunghezza di AB. Devi trovare le aree delle due circonferenze in figura. Si tratta quindi di trovare i loro raggi, OF e OB.

Poiché conosci L, conosci anche l'area del triangolo. Ma tale area la puoi scrivere sommando le aree di AOB, BOC e COA, che dipendono dal raggio OF. Da questa osservazione ricavi OF.

Per quanto riguarda il raggio OB, per fare in fretta puoi usare il teorema dei seni.

[Sk_Anonymous]

La risposta E è da escludere. Infatti per la $s=(p)r$ dei triangoli circoscritti ad un cerchio si ha: $s=p*r=3/2lr$, da cui $r=(2s)/(3l)$ e l'area del cerchio s è:$pir^2=pi((2s)/(3l))^2$
mentre è $S=piR^2$ e, pertanto, si ricava $S/s=R^2/(((2s)/(3l))^2)$
Adesso troviamo R in funzione di r per vedere eventuali nessi: poiché il triangolo è equilatero ed $r=(2s)/(3l)$ si ricava $R=2r=2(2s)/(3l)=(4s)/(3l)$.
A questo punto la risposta giusta sembrerebbe la C.

[Martino]

"IvanTerr":poiché il triangolo è equilatero ed $r=(2s)/(3l)$ si ricava $R=2r$

Non riesco proprio a seguirti

Una volta che arrivi a $R=2r$ hai subito che $(pi R^2)/(pi r^2) = 4$, non serve fare altri conti (e quindi immediatamente la risposta giusta è la B - non la C). Come giustifichi che $R=2r$ ?