Quesito probabilità

[Marco1985Mn]

Rieccomi con un argomento che personalmente non mi piace...ma...va fatto..la probabilità.
L'esercizio chiede:
la probabilità che una persona colpisca il bersaglio è 20%; la probabilità che l'altra persona colpisca il bersaglio è 60%. Calcola
a) probabilità che il bersaglio venga colpito da entrambi
b) probabilità che almeno uno colpisca il bersaglio.

per la a) la connessione logica è la "e", quindi si tratta di eventi compatibili e indipendenti.
In teoria dovrei moltiplicare e due percentuali, quindi ottengo $12%$

per la b) la connessione logica è la "o", quindi devo sommare la probabilità che la prima persona colpisca il bersaglio + la probabilità che la seconda persona colpisca il bersaglio e poi + la probabilità che lo colpiscano entrambi no? quindi $20/100+60/100+12/100$
Corretti come ragionamenti?
Grazie come sempre

[ghira1]

"quindi" nel primo è preoccupante


Il secondo è sbagliato. e preoccupante.

[gio73]

Ciao marco
Io con la probabilità mi impappino sempre

Provo a ragionare con te
Se dico delle bestialità Ghira correggerà, spero

Su a) mi viene come a te

Su b) no

Contiamo le volte che colpisce uno: 20% (ma c è anche il 12% che colpiscono entrambi)

Contiamo le volte che colpisce l altro: 60% ( ma c è anche il 12% che colpiscono entrambi)

Allora se non voglio contare quel 12% doppio lo devo togliere da 20% o da 60%

Piu facilmente: 20%+60%-12%=68%

[ghira1]

"Marco1005":
per la a) la connessione logica è la "e", quindi si tratta di eventi compatibili e indipendenti.

Cavolo dici? "e" non vuol dire quello.

Qui siamo costretti a supporre che gli eventi siano indipendenti perché altrimenti, cosa facciamo? Ma si può usare "e" anche quando gli eventi sono dipendenti o incompatibili.

"Marco1005":
per la b) la connessione logica è la "o", quindi devo sommare la probabilità che la prima persona colpisca il bersaglio + la probabilità che la seconda persona colpisca il bersaglio e poi + la probabilità che lo colpiscano entrambi no?

No. Vedi la risposta di gio.

[gugo82]

In situazioni simili uso i diagrammi ad albero, che in generale fanno schifo, ma in casi semplici funzionano benone.
In questo caso hai:
[asvg]xmin=0; xmax=7.5; ymin=-4; ymax=4;
noaxes();
stroke="red"; strokewidth=2; marker="arrow";
line([0,0],[1.85,-1.85]); text([2,-2],"NC"); line([2.15,-2],[3.85, -3.35]); text([4,-3.5], "NC"); line([2.15,-2],[3.85, -0.65]); text([4,-0.5], "C");
line([0,0],[1.85,1.85]); text([2,2],"C"); line([2.15,2],[3.85, 3.35]); text([4,3.5], "C"); line([2.15,2],[3.85, 0.65]); text([4,0.5], "NC");
stroke="dodgerblue";
line([4.25, -3.5],[5.25, -3.5]); text([5.25,-3.5],"P(NC,NC) = 32%", right);
line([4.25, -0.5],[5.25, -0.5]); text([5.25,-0.5],"P(NC,C) = 48%", right);
line([4.25, 3.5],[5.25, 3.5]); text([5.25, 3.5], "P(C,C) = 12%", right);
line([4.25, 0.5],[5.25, 0.5]); text([5.25, 0.5], "P(C,NC) = 8%", right);
text([0.925, -0.925],"80%", below); text([0.925,0.925],"20%", above);
text([3, -2.675],"40%", below); text([3,2.675],"60%", above);
text([3, -1.325],"60%", above); text([3,1.325],"40%", below);[/asvg]
in cui $C=text("bersaglio Colpito")$ e $NC=text("bersaglio Non Colpito")$ e $P(X,Y)$ è la probabilità dell'evento $(X,Y)$ (con $X,Y in \{ C,NC\}$) ed è calcolata moltiplicando le percentuali che si incontrano percorrendo i rami fino all'evento-foglia che interessa.

Analogamente, funziona una rappresentazione tabulare:
[asvg]xmin=0;xmax=6;ymin=0; ymax=6;
noaxes();
line([0,6],[2,4]); text([1.5,5.5],"1°"); text([0.5,4.5],"2°");
line([2,0],[2,6]); line([4,0],[4,6]); line([6,0],[6,6]);
line([0,2],[6,2]); line([0,4],[6,4]); line([0,0],[6,0]);
text([0.5,3],"C"); text([1.5,3],"60%"); text([0.5,1],"NC"); text([1.5,1],"40%");
text([3,5.5],"C"); text([3,4.5],"20%"); text([5,5.5],"NC"); text([5,4.5],"80%");
text([3,3],"12%"); text([3,1],"8%"); text([5,3],"48%"); text([5,1],"32%");[/asvg]

A questo punto, hai elencato tutti gli eventi elementari e puoi farci ciò che vuoi.
Il primo evento è $E_1:=\{(C,C)\}$ e perciò:

$P(E_1) = 12% = 0.12$.

Il secondo evento è $E_2:=\{(C,C),(C,NC),(NC,C)\}$ e perciò:

$P(E_2)= 12% + 8% + 48% = 68% =0.68$

(oppure $P(E_2) = 100% - P(NC,NC) = 100% - 32% = 68% = 0.68$).[nota]E, comunque, la notazione con la percentuale non è proprio corretta... Bisognerebbe farlo capire a chi scrive i testi.[/nota]

Insomma, questi quesiti di probabilità così banali li si può risolvere con le mani in maniera semplice, anche senza farsi troppi problemi, perché puoi scrivere in maniera completa lo spazio campione.

Poi, ovviamente, puoi cercare di capire in generale come vanno le cose.

L'esperimento casuale che consideri è un esperimento con due prove ripetute; gli spazi campione di tali prove, $S_1$ ed $S_2$ hanno gli stessi eventi elementari, che sono due, i.e. $S_1=\{C,NC\}=S_2$, ma misure di probabilità (date da distribuzioni discrete) differenti, poiché le probabilità degli eventi elementari sono:

$\{ (P_1(C) = p), (P_1(NC) = 1-p):}$ in $S_1$ (con $0<= p <= 1$)

$\{ (P_2(C) = q), (P_2(NC) = 1- q):}$ in $S_2$ (con $0<= q <= 1$)

e $p != q$.

Lo spazio campione delle due prove ripetute è $S=S_1 xx S_2 =\{(C,C), (C,NC), (NC,C), (NC,NC)\}$ e la probabilità degli eventi elementari è quella che si deduce generalizzando il diagramma ad albero o la tabella del post precedente, cioè:

$\{ (P(C,C) = pq), (P(C,NC) = p(1-q)), (P(NC,C)=(1-p)q), (P(NC,NC)=(1-p)(1-q)) :}$.

Ora sei in grado di gestire qualsiasi problema di probabilità relativo a questo tipo di esperimenti semplicemente ragionando su quale dei possibili $2^4 = 16$ eventi di $S$ hai sotto mano.

[gio73]

Perché dici che la notazione con la percentuale non é proprio corretta?

[gugo82]

La probabilità è un numero compreso tra $0$ ed $1$, estremi inclusi.
Una percentuale è un simbolo del tipo $a\%$ in cui, se diamo buone le convenzioni usuali, $a$ è un allineamento decimale finito con due/tre cifre significative.
Quindi una probabilità $pi/7$ non puoi rappresentarla in percentuale in maniera esatta[nota]A meno che tu non voglia usare un simbolo del tipo $(100 pi)/7 \%$... Che si può pure fare, ma fa più ribrezzo del numero reale da cui parti. [/nota], ma in maniera approssimata $~~44.88\%$.

[Marco1985Mn]

"gio73":Ciao marco
Piu facilmente: 20%+60%-12%=68%

Hai ragione Gio, non ho tolgo la probabilità dell'evento "entrambi colpiscono", quindi si genera un doppione.

[Marco1985Mn]

Grazie Gugo per la risposta. Chiarissima. La probabilità sinceramente non mi piace.

[Marco1985Mn]

"ghira":[quote="Marco1005"]
Cavolo dici? "e" non vuol dire quello.

[/quote]
hai ragione. Ho supposto erroneamente che gli eventi siano indipendenti. ho letto troppo veloce una dispensa tanto per farmi un'idea. Per la prossima volta ti chiedo cortesemente di evitare frasi "cavolo dici", perchè sinceramente il tono mi infastidisce. Un professore solitamente non si rivolge così ai propri studenti no?
Non siamo ne amici ne conoscenti. Ricordatelo per la prossima volta

[ghira1]

"Marco1005":
Ho supposto erroneamente che gli eventi siano indipendenti.

No. L'hai supposto perché non c'è alternativa. La domanda non sembra dirlo, ma se non supponiamo che questi eventi siano indipendenti non possiamo nemmeno cominciare.

Non è colpa tua. Se la domanda davvero non dice che queste cose sono indipendenti secondo me è scritta male.

[Marco1985Mn]

in generale faccio fatica a metabolizzare una cosa:
allora il primo può colpire (20%), quindi l'evento "NC" è la percentuale residua 80%.
Ok..il mio problema sta nel fatto che, sia da 20% sia da 80% provengano poi le rispettive percentuali della seconda persona che colpisce (60%) e NC (40%).
Siccome gli eventi non sono collegati, perchè 60% e 40% sono legati a 20% e 80%??

Ho capito che se la prima persona colpisce, anche l'altra a sua volta può colpire e non colpire. Ma sinceramente non la digerisco bene

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Marco1005":il mio problema sta nel fatto che, sia da 20% sia da 80% provengano poi le rispettive percentuali della seconda persona che colpisce (60%) e NC (40%).
Siccome gli eventi non sono collegati, perchè 60% e 40% sono legati a 20% e 80%??

Cosa intendi quando dici che due numeri sono "legati"? In che senso 40, 60 sarebbero legati a 20, 80?

Se io ti chiedo di dirmi un numero casuale e tu mi dici 56, io potrei risponderti che il numero 56 non è casuale (e darti un sacco di ottime motivazioni). Poi ti posso chiedere un numero non legato a 56, se tu mi dici 79 io potrò risponderti che 56 e 79 sono legati eccome, con argomenti molto convincenti.

[Marco1985Mn]

"Martino":Cosa intendi quando dici che due numeri sono "legati"?

intendo che nello schema di gugo (fatto molto bene) la freccia implicitamente mi fa pensare che la probabilità della seconda persona di colpire derivi dalla probabilità che la prima colpisca o meno.
So che non è così ma di primo impatto quando c'è una freccia, questa indica una scomposizione dell'oggetto originale in piu parti. E' un bias mentale personale.

[gugo82]

"Marco1005":E' un bias mentale personale.

Sì, lo è.

Se fosse come dici tu, i due eventi non sarebbero indipendenti ed andrebbe specificato cosa succede al secondo arciere quando il primo coglie o non coglie il bersaglio; dunque vedresti evidenziate sulle quattro frecce/rami terminali coppie di probabilità differenti.

[Marco1985Mn]

"gugo82":

dunque vedresti evidenziate sulle quattro frecce/rami terminali coppie di probabilità differenti.

avrei quindi un'ulteriore biforcazione della probabilità a seconda che l'evento precedente sia stato C o NC?.
.....che casino

[gugo82]

No.
Rileggi con attenzione.