Quesito di maturità

[Sorriso91]

Studiando i quesiti degli esami di stato di qualche anno fa, io e una mia amica ci siamo imbattute nel seguente:

dimostare che $(a+b)^n = 2n$

qualcuno ci da una mano?

[@melia]

Credo si tratti del quinto quesito di maturità del 2005-06. Il testo però è molto impreciso e incompleto, quello esatto è
Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di $(a + b)^n$ è uguale a $2^n$ per ogni $n in RR$

Le soluzioni, con breve spiegazione, le trovi qui, se hai bisogno di ulteriori delucidazioni, chiedi pure.

[Sorriso91]

..intanto ti chiedo scusa per come ho posto il problema ma la mia amica me lo ha dettato così..do un'occhiata poi ti faccio sapere!!!..grazie mille!!!!

[Sorriso91]

..vorrei capire come si arriva a porre $ a=b=1 $

[Steven11]

I coefficienti di quello sviluppo, come si sa (basta vedere il binomio di Newton), sono
$((n),(0))$
$((n),(1))$
$((n),(2))$
...
$((n),(n-1))$
$((n),(n))$

Quindi bisogna sommare tutti i coefficienti bonomiali di sopra.
Siccome si ha
$(a+b)^n=sum_(k=1)^n((n),(k))a^kb^(n-k)$
Siccome $a$, $b$ sono qualsiasi, IO decido di scegliere, tra i tanti, il valore di 1 per entrambi e inserirlo là.
Quindi al primo membro avrò
$(1+1)^2$ cioè $2^n$.
Al secondo, le potenze $a^kb^(n-k)$ diventano 1, perché si ha $1^k1^(n-k)=1*1=1$ quindi rimane solo la somma dei coeff. binomiali
$(2)^n=sum_(k=1)^n((n),(k))$

Fine.

Ti quadra?
Ciao.

[Sorriso91]

Quadra perfettamente!!!..grazie mille!!!!!

[Steven11]

Prego!