Quesito di geometria analitica sulla parabola
Ciao a tutti!
Mi trovo di fronte a questo quesito:
Scrivere l'equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta x=3 e tangente nel punto A(2;3) alla retta r di coefficiente angolare 2.
Per costruire l'equazione della parabola devo costruire un sistema a tre equazioni: una la si ottiene sostituendo alla formula generale della parabola i dati di x e y del punto A, l'altra sfruttando il dato dell'asse di simmetria -b/2a, ma la terza proprio non riesco a capire come scriverla. Credo che bisogna utilizzare il coefficiente angolare della retta tangente, ma non riesco a capire come.
A qualcuno viene in mente?
Grazie mille!
Mi trovo di fronte a questo quesito:
Scrivere l'equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta x=3 e tangente nel punto A(2;3) alla retta r di coefficiente angolare 2.
Per costruire l'equazione della parabola devo costruire un sistema a tre equazioni: una la si ottiene sostituendo alla formula generale della parabola i dati di x e y del punto A, l'altra sfruttando il dato dell'asse di simmetria -b/2a, ma la terza proprio non riesco a capire come scriverla. Credo che bisogna utilizzare il coefficiente angolare della retta tangente, ma non riesco a capire come.
A qualcuno viene in mente?
Grazie mille!
Risposte
Benvenuto nel forum. 
Se scriviamo l'equazione generica
$y=ax^2+by+c$
possiamo dedurre, dalle informazioni fornite, che
$-b/(2a)=3$ ovvero$b=-6a$ e usando la condizione di appartenenza del punto dato,
$3=4a+2b+c$ e ricordando il risultato trovato sopra $3=4a+2(-6a)+c=-8a+c$
Quindi $c=3+8a$ e l'equazione generica diventa
$y=ax^2-6ax+8a+3$
Ora dipende da come sai fare tu, se puoi usare le derivate, altrimenti devi mettere a sistema con la retta di coefficiente angolare 2 e passante per A(2,3) e imporre $Delta=0$
Ciao.
Se scriviamo l'equazione generica
$y=ax^2+by+c$
possiamo dedurre, dalle informazioni fornite, che
$-b/(2a)=3$ ovvero$b=-6a$ e usando la condizione di appartenenza del punto dato,
$3=4a+2b+c$ e ricordando il risultato trovato sopra $3=4a+2(-6a)+c=-8a+c$
Quindi $c=3+8a$ e l'equazione generica diventa
$y=ax^2-6ax+8a+3$
Ora dipende da come sai fare tu, se puoi usare le derivate, altrimenti devi mettere a sistema con la retta di coefficiente angolare 2 e passante per A(2,3) e imporre $Delta=0$
Ciao.
Per la terza condizione, io userei la cosiddetta "formula dello sdoppiamento" (se ti è stata introdotta)...è una formula che si usa poco, ma che ti fa risparmiare il procedimento del discriminante nullo, che ti ha già illustrato Steven.
La formula ti fornisce il coefficiente angolare della tangente in funzione dei coefficienti della parabola e del punto di tangenza:
$m=2ax_P+b$
Questa formula risulterà più chiara parlando di derivate; viene di solito data proprio come strumento rapido di calcolo.
Sostituendo i valori che ti fornisce il testo, ottieni $2=4a+b$, in quanto $m=2$ e $x_P=2$. Questa terza condizione la aggiungi a quelle che ti ha già dato Steven, in alternativa a $Delta=0$
La formula ti fornisce il coefficiente angolare della tangente in funzione dei coefficienti della parabola e del punto di tangenza:
$m=2ax_P+b$
Questa formula risulterà più chiara parlando di derivate; viene di solito data proprio come strumento rapido di calcolo.
Sostituendo i valori che ti fornisce il testo, ottieni $2=4a+b$, in quanto $m=2$ e $x_P=2$. Questa terza condizione la aggiungi a quelle che ti ha già dato Steven, in alternativa a $Delta=0$
Mi accodo a questo topic per non aprirne altri. Ho un quesito su una parabola che non riesco a risolvere.
Ho una parabola con equazione: $y=(3/2)*x^2 - 2*x$.
Devo determinare per quali valori di K la retta $2*x + 3*y + k = 0$ è tangente alla parabola.
Faccio un sistema tra le due equazioni ed ottengo la seguente equazione: $9*x^2 - 8 * x + 2*k = 0$
Pongo il delta = 0 ed ottengo $8/9$ come risultato anche se dovrebbe essere 2.
Cosa sbaglio?
Ho una parabola con equazione: $y=(3/2)*x^2 - 2*x$.
Devo determinare per quali valori di K la retta $2*x + 3*y + k = 0$ è tangente alla parabola.
Faccio un sistema tra le due equazioni ed ottengo la seguente equazione: $9*x^2 - 8 * x + 2*k = 0$
Pongo il delta = 0 ed ottengo $8/9$ come risultato anche se dovrebbe essere 2.
Cosa sbaglio?
Anche a me torna $8/9$. Se invece sostituisco $k=2$ e pongo la retta con k=2 a sistema con l'equazione della parabola, ottengo il delta negativo, quindi non avrebbero punti in comune...
"Steven":
Benvenuto nel forum.
Se scriviamo l'equazione generica
$y=ax^2+by+c$
possiamo dedurre, dalle informazioni fornite, che
$-b/(2a)=3$ ovvero$b=-6a$ e usando la condizione di appartenenza del punto dato,
$3=4a+2b+c$ e ricordando il risultato trovato sopra $3=4a+2(-6a)+c=-8a+c$
Quindi $c=3+8a$ e l'equazione generica diventa
$y=ax^2-6ax+8a+3$
Ora dipende da come sai fare tu, se puoi usare le derivate, altrimenti devi mettere a sistema con la retta di coefficiente angolare 2 e passante per A(2,3) e imporre $Delta=0$
Io farei così:
dato che la parabola ha per asse di simmetria $x=3$, posso scrivere:
$y = a (x-3)^2 + c$
poi, visto che passa dal punto $A(2;3)$ mi ricavo la condizione
$a + c = 3$
da cui ricavo
$y = a(x-3)^2 + 3-a$
per quanto riguarda la tangenza basta ragionare così, senza Delta (che non è molto elegante..):
se mi sposto di -1 dall'asse di simmetria (infatti $3-1=2 = x_A$)
la pendenza della retta tangente è uguale a $2$.
Basta pensare un attimo a cosa accade per la parabola $y=-x^2$:
se lì mi sposto di $-1$ dall'asse di simmetria ottengo una retta tangente
con pendenza uguale a 2; la stessa cosa accade per tutte le parabole
del tipo $y = -x^2 + ...$ quindi il coefficiente $a$ che stiamo cercando è
proprio uguale a $-1$.
La parabola in definitiva è
$y = (-1) \cdot (x-3)^2 + 3-(-1)$
ovvero
$y = -x^2 + 6x - 5$.
"franced":
..., senza Delta (che non è molto elegante..)
Perchè non è elegante? E' senza dubbio il metodo algebricamente più corretto, nota che anche io non l'ho suggerito, ma non perchè non lo ritengo elegante, solo perchè mi sembra un po' lungo e se si può evitare è meglio.
Con questo non dico che il tuo metodo non mi piaccia, anzi...
"oronte83":
[quote="franced"]
..., senza Delta (che non è molto elegante..)
Perchè non è elegante? E' senza dubbio il metodo algebricamente più corretto, nota che anche io non l'ho suggerito, ma non perchè non lo ritengo elegante, solo perchè mi sembra un po' lungo e se si può evitare è meglio.
Con questo non dico che il tuo metodo non mi piaccia, anzi...[/quote]
Non ha senso dire "più corretto".
Mentre ha senso parlare di eleganza, ma è una questione di vedute.
Io credo che la correttezza sia legata al fatto che il delta mi dice se retta e curva hanno uno, due o nessun punto in comune. Questa è una verifica algebrica secondo me "corretta", non nel senso di più giusta di un'altra, ma nel senso che ti darà una risposta oggettivamente sicura, tra l'altro con non moltissima fatica. L'eleganza è legata forse a qualcosa che a qualcuno può piacere e a qualcuno no, è cioè soggettiva.
Mi rimane però la curiosità del perchè non ti sembra elegante
Mi rimane però la curiosità del perchè non ti sembra elegante
"oronte83":
Io credo che la correttezza sia legata al fatto che il delta mi dice se retta e curva hanno uno, due o nessun punto in comune. Questa è una verifica algebrica secondo me "corretta", non nel senso di più giusta di un'altra, ma nel senso che ti darà una risposta oggettivamente sicura, tra l'altro con non moltissima fatica. L'eleganza è legata forse a qualcosa che a qualcuno può piacere e a qualcuno no, è cioè soggettiva.
Mi rimane però la curiosità del perchè non ti sembra elegante
Un metodo, se corretto, fornisce in ogni caso una risposta "sicura"!
Se io ho una parabola e un punto $P$ su di essa, la tangente in $P$ non la calcolo
con il delta, ma sfruttando una delle proprietà della parabola.
"franced":
[quote="oronte83"]Io credo che la correttezza sia legata al fatto che il delta mi dice se retta e curva hanno uno, due o nessun punto in comune. Questa è una verifica algebrica secondo me "corretta", non nel senso di più giusta di un'altra, ma nel senso che ti darà una risposta oggettivamente sicura, tra l'altro con non moltissima fatica. L'eleganza è legata forse a qualcosa che a qualcuno può piacere e a qualcuno no, è cioè soggettiva.
Mi rimane però la curiosità del perchè non ti sembra elegante
Un metodo, se corretto, fornisce in ogni caso una risposta "sicura"!
Se io ho una parabola e un punto $P$ su di essa, la tangente in $P$ non la calcolo
con il delta, ma sfruttando una delle proprietà della parabola.[/quote]
Questione di "gusti" insomma!!!
"franced":
Un metodo, se corretto, fornisce in ogni caso una risposta "sicura"!
Se io ho una parabola e un punto $P$ su di essa, la tangente in $P$ non la calcolo
con il delta, ma sfruttando una delle proprietà della parabola.
Parabola: $y=ax^2+bx+c$
Punto: $P(x_P, y_P)$
Fascio di rette per $P$: $y-y_P=m(x-x_P)$
lego a sistema
$y=ax^2+bx+c$
$y=m(x-x_P)+y_P$
Trovo: $ax^2+(b-m)x+c+mx_P-y_P=0$
Ponendo $Delta=0$, trovo il valore del coefficiente angolare della tangente. Proprio perchè se il delta di un'equazione è nullo, le due soluzioni sono coincidenti, cioè - tradotto geometricamente - retta e parabola hanno un punto solo in comune (o meglio due coincidenti). E questo metodo funziona sia che P appartenga alla parabola, sia che sia un punto qualunque nel piano.
Ho sfruttato il delta. Se usassi la formula dello sdoppiamento non sfrutterei il delta, arrivando comunque allo stesso risultato.
Non voglio essere polemico, mi incuriosisce questo scambio di idee.
"oronte83":
Parabola: $y=ax^2+bx+c$
Punto: $P(x_P, y_P)$
Fascio di rette per $P$: $y-y_P=m(x-x_P)$
lego a sistema
$y=ax^2+bx+c$
$y=m(x-x_P)+y_P$
Trovo: $ax^2+(b-m)x+c+mx_P-y_P=0$
Ponendo $Delta=0$, trovo il valore del coefficiente angolare della tangente. Proprio perchè se il delta di un'equazione è nullo, le due soluzioni sono coincidenti, cioè - tradotto geometricamente - retta e parabola hanno un punto solo in comune (o meglio due coincidenti). E questo metodo funziona sia che P appartenga alla parabola, sia che sia un punto qualunque nel piano.
Ho sfruttato il delta. Se usassi la formula dello sdoppiamento non sfrutterei il delta, arrivando comunque allo stesso risultato.
Non voglio essere polemico, mi incuriosisce questo scambio di idee.
Io invece sfrutto il fatto che, dato un punto $P=(x_0;ax_0^2+bx_0+c)$ sulla parabola $y=ax^2+bx+c$,
la retta tangente passa per $P$ (ovvio, lo so) e per il punto $Q$ appartenente all'asse della parabola ($x=-b/(2a)$)
e avente ordinata tale che $(y_P+y_Q)/2 = y_V$.
Questo porta alla retta tangente
$y = ax_0^2+bx_0+c + (2ax_0+b) (x-x_0)$
"Ene@":
[quote="franced"][quote="oronte83"]Io credo che la correttezza sia legata al fatto che il delta mi dice se retta e curva hanno uno, due o nessun punto in comune. Questa è una verifica algebrica secondo me "corretta", non nel senso di più giusta di un'altra, ma nel senso che ti darà una risposta oggettivamente sicura, tra l'altro con non moltissima fatica. L'eleganza è legata forse a qualcosa che a qualcuno può piacere e a qualcuno no, è cioè soggettiva.
Mi rimane però la curiosità del perchè non ti sembra elegante
Un metodo, se corretto, fornisce in ogni caso una risposta "sicura"!
Se io ho una parabola e un punto $P$ su di essa, la tangente in $P$ non la calcolo
con il delta, ma sfruttando una delle proprietà della parabola.[/quote]
Questione di "gusti" insomma!!![/quote]
Certo, non mi piacciono i metodi "standard".
Ad esempio si possono calcolare le tangenti anche con il metodo della polare.
Non ci dobbiamo fermare solo al "Delta"!
Altro metodo che ho già proposto in questo forum mesi fa:
data la curva $f(x,y)=0$ e un punto $P$ su di essa, si considera la trasformazione
$\{ (X = x - x_P) , (Y = y - y_P) :}$
e si ottiene la curva
$g(X,Y) = 0$.
La parte lineare di $g(X,Y)=0$, $\alpha X + \beta Y = 0$,
è la retta tangente nell'origine ($X=0;Y=0$) alla curva $g(X,Y)=0$.
A questo punto basta sostituire tutto in funzione di $x$ e $y$ nella
retta $\alpha X + \beta Y = 0$, ottenendo la tangente a $f(x,y)=0$
nel punto $P$:
$\alpha (x-x_P) + \beta (y-y_P) = 0$ .
data la curva $f(x,y)=0$ e un punto $P$ su di essa, si considera la trasformazione
$\{ (X = x - x_P) , (Y = y - y_P) :}$
e si ottiene la curva
$g(X,Y) = 0$.
La parte lineare di $g(X,Y)=0$, $\alpha X + \beta Y = 0$,
è la retta tangente nell'origine ($X=0;Y=0$) alla curva $g(X,Y)=0$.
A questo punto basta sostituire tutto in funzione di $x$ e $y$ nella
retta $\alpha X + \beta Y = 0$, ottenendo la tangente a $f(x,y)=0$
nel punto $P$:
$\alpha (x-x_P) + \beta (y-y_P) = 0$ .
"franced":
Altro metodo che ho già proposto in questo forum mesi fa:
L'ho trovato:
https://www.matematicamente.it/forum/tan ... 60-10.html
Grazie mille per i suggerimenti, ora mi è molto più chiaro!
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