Quesito d'esame

[Mikepicker]

Mi ritrovo davanti al seguente quesito:

Due tetraedi regolari hanno rispettivamente aree totali A' e A'' e volumi V' e V''. Si sa che A'/A'' = 2. Calcolare il valore del rapporto V'/V''.

Datemi un input per favore!

Grazie

[adaBTTLS1]

due tetraedri regolari sono necessariamente simili.
l'area totale non è altro che il quadruplo dell'area di una faccia, che è un triangolo equilatero.
se c'è un rapporto di similitudine tra gli spigoli, lo stesso rapporto è tra le altezze delle facce e tra le altezze dei tetraedri...
allora, se chiami k il rapporto di similitudine tra gli spigoli, qual è il rapporto di similitudine tra le aree? e tra i volumi?
prova un attimo a ragionare e facci sapere. ciao.

[Mikepicker]

Allora.. Partendo dal tuo ragionamento arrivo a dire che il rapporto tra le aree è uguale al rapporto degli spigoli moltiplicati per le altezze.. ovviamente..

Ancora non capisco.. scusate

[adaBTTLS1]

se k è il rapporto degli spigoli, è k anche il rapporto delle altezze... allora qual è il rapporto tra i prodotti?

[Mikepicker]

$k=(S'*h')/(S''*h'')$ ? .. non capisco davvero dove intendi arrivare

[@melia]

Il rapporto tra gli spigoli è $k$, allora anche quello tra le altezze deve essere $k$ perché le figure sono simili, per cui il rapporto tra le aree è $k^2$. Per calcolare il volume serve anche le terze dimensioni il cui rapporto sarà ancora $k$, per cui il rapporto tra i volumi diventa ...

[adaBTTLS1]

$b_2=k*b_1, h_2=k*h_1, S_1=1/2*b_1*h_1, S_2=1/2*b_2*h_2=1/2*k*b_1*k*h_1=k^2*(1/2*b_1*h_1)=k^2*S_1$.
OK?
allora?

[Mikepicker]

ok.. mi si sta accendendo qualcosa.. ora mi tocca farlo per i volumi?

[adaBTTLS1]

sì, ma certo la cosa più importante da notare è che la formula è "la stessa" per il volume dei due solidi, e intervengono 3 grandezze lineari tutte di rapporto k ovvero una linerare e due "quadratiche" (aree) ...
se ti aiuta procedi con $V_1, V_2, S_1, S_2, H_1, H_2$, dove ho chiamato $H_1, H_2$ le altezze dei solidi per distinguerle dalle altezze delle facce.