Quesito con Lagrange

[Albert Wesker 27]

Buon pomeriggio a tutti.

Ho difficoltà con questo esercizio:

Utilizzando Lagrange, dimostra che vale la seguente relazione: $ |tgb-tga|>=|b-a|$ $AA [a;b] sub ]-pi/2;pi/2[ $

Mi capita raramente ma non riesco proprio a trovare un punto da cui partire. Vi chiedo quindi di darmi uno spunto su cui lavorare che "spoileri" il meno possibile la soluzione altrimenti mi levate tutto il gusto

Nel mentre esco a prendermi una boccata d'aria sperando dopo il cervello mi funzioni meglio! Vi ringrazio anticipatamente per le risposte che troverò al mio ritorno

[Gi81]

$ |tg(b)-tg(a)|>=|b-a|$ $AA [a;b] sub (-pi/2;pi/2) $ è equivalente a $ |(tg(b)-tg(a))/(b-a)|>=1$ $AA [a;b] sub (-pi/2;pi/2) $
Sfruttando il teorema di Lagrange, come suggerito,
e tenendo presente qual è la derivata della funzione tangente, arrivi "facilmente" alla dimostrazione.

[@melia]

Prendi $f(x)=tg x$ nell'intervallo $[a, b]$ e applica il teorema di Lagrange. Ragiona sul risultato.

[Albert Wesker 27]

Grazie mille ad entrambi!

[Albert Wesker 27]

Riprendo il topic dato che sono di fronte ad un altro quesito simile che penso si risolva con Lagrange.

Si dimostri che $ AA x > 0 $ vale la relazione $x/(1+x^2)0$. La funzione soddisfa li le ipotesi di Lagrange dunque esiste almeno un punto $c$ tale che $1/(1+c^2)=arctgx/x$. Da qui in realtà non riesco bene a muovermi anche se l'equazione che ho trovato assomiglia molto alla relazione che si chiede di dimostrare... Suggerimenti? (come sempre, meno mi dite meglio è )

[@melia]

Sfruttando la decrescenza di $1/(1+c^2)$ si ha che $1/(1+c^2)<1/(1+x^2)$

[Albert Wesker 27]

Stasera non funziono... Non riesco ancora a muovermi

[Paolo902]

"@melia":Sfruttando la decrescenza di $1/(1+c^2)$ si ha che $1/(1+c^2)<1/(1+x^2)$

@melia, mi sa che hai sbagliato il verso: poichè $c in (0,x)$ si ha $1/(1+c^2)>1/(1+x^2)$.

Albert Wesker 27, hai tutto davanti a te, si tratta solo di mettere insieme i pezzi

[@melia]

Esattamente, Paolo, hai ragione, ho sbagliato a scrivere il verso della disuguaglianza.

[Albert Wesker 27]

Intanto vi ringrazio!

Vediamo: ho ottenuto che $(arctgx)/x=1/(1+c^2)>1/(1+x^2)$ dunque $(arctgx)/x>1/(1+x^2)$. A questo punto moltiplico entrambi i membri per $x$ senza cambiare verso dato che $x>0$ ed ottengo $arctgx>x/(1+x^2)$ che è ciò che volevamo dimostrare. E' corretto?

EDIT: avevo scritto "$acrctgx$"

[Paolo902]

"Albert Wesker 27":Intanto vi ringrazio!

Vediamo: ho ottenuto che $(acrctgx)/x=1/(1+c^2)>1/(1+x^2)$ dunque $(acrctgx)/x>1/(1+x^2)$. A questo punto moltiplico entrambi i membri per $x$ senza cambiare verso dato che $x>0$ ed ottengo $acrctgx>x/(1+x^2)$ che è ciò che volevamo dimostrare. E' corretto?

That's it. Well done, guy.

[Albert Wesker 27]

Thank you so much I really appreicated your help (both yours and @melia's)