Quesito 9
ciao a tutti!
anch'io quest' anno alle prese con la maturità (non vedo l' ora di finire...), comunque mi sorge un dubbio per il quesito 9:
ok, è facile facile, lo leggi e trovi la soluzione prima ancora di aver finito, però mi sono detto "eh no! qui ci vuole una dimostrazione rigorosa!" allora ho prima dimostrato che l'ennesima derivata della funzione sarebbe stata f(x) stessa, poi ho usato il polinomio di taylor,e alla fine è sbucata e^x...
quello che mi chiedo è "ma si poteva dire "per me la soluzione è e^x", vedere che funziona e accantonare il quesito?"
a voi...
ciao ciao
anch'io quest' anno alle prese con la maturità (non vedo l' ora di finire...), comunque mi sorge un dubbio per il quesito 9:
ok, è facile facile, lo leggi e trovi la soluzione prima ancora di aver finito, però mi sono detto "eh no! qui ci vuole una dimostrazione rigorosa!" allora ho prima dimostrato che l'ennesima derivata della funzione sarebbe stata f(x) stessa, poi ho usato il polinomio di taylor,e alla fine è sbucata e^x...
quello che mi chiedo è "ma si poteva dire "per me la soluzione è e^x", vedere che funziona e accantonare il quesito?"
a voi...
ciao ciao
Risposte
Questa domanda me la sono posta anch'io
(maturità l'anno scorso). Ma credo che
avresti anche potuto dire direttamente $e^x$.
Tra l'altro il polinomio di Taylor io non
l'avevo neanche fatto, anzi, non credo
nemmeno che faccia di norma
parte del programma di Matematica
del Liceo Scientifico, forse del PNI sì,
ma nonostante io venissi dal PNI non l'ho fatto...
(maturità l'anno scorso). Ma credo che
avresti anche potuto dire direttamente $e^x$.
Tra l'altro il polinomio di Taylor io non
l'avevo neanche fatto, anzi, non credo
nemmeno che faccia di norma
parte del programma di Matematica
del Liceo Scientifico, forse del PNI sì,
ma nonostante io venissi dal PNI non l'ho fatto...
E tantomeno i problemi di Cauchy (e quindi le eq. differenziali,
che non ho fatto neanche adesso all'Università
e che comincerò solo il prossimo anno!!!)
https://www.matematicamente.it/matura/2006ordque9.jpg
che non ho fatto neanche adesso all'Università
e che comincerò solo il prossimo anno!!!)
https://www.matematicamente.it/matura/2006ordque9.jpg
Però il metodo del buon Jack è interessante! Ma sarà giusto??? boh...
Di sicuro le derivate della funzione bersagio esistono tutte (supponendo di metterci in un intorno di 0 in cui la soluzione supposta esista)... ed inoltre sappiamo il valore di tutte queste nell'origine, quindi potremmo tentare uno sviluppo in serie di Taylor in zero(hai fatto così, jack??)... ma non è detto che la funzione bersaglio si possa sviluppare in serie di Taylor (ovvero in linguaggio tecnico credo si dica che una funzione C_infinto non è per forza analitica)...
Inoltre esistono casi patologici di funzioni derivabili con tutte le derivate uguali nell'origine ma diverse...
Cosa ne pensate???
Di sicuro le derivate della funzione bersagio esistono tutte (supponendo di metterci in un intorno di 0 in cui la soluzione supposta esista)... ed inoltre sappiamo il valore di tutte queste nell'origine, quindi potremmo tentare uno sviluppo in serie di Taylor in zero(hai fatto così, jack??)... ma non è detto che la funzione bersaglio si possa sviluppare in serie di Taylor (ovvero in linguaggio tecnico credo si dica che una funzione C_infinto non è per forza analitica)...
Inoltre esistono casi patologici di funzioni derivabili con tutte le derivate uguali nell'origine ma diverse...
Cosa ne pensate???
http://www.matefilia.it/maturita/spe2006/q9.gif
Questa dimostrazione vi sembra più adatta a uno studente di liceo?
Questa dimostrazione vi sembra più adatta a uno studente di liceo?
Penso di sì
Decisamente sì, più bella anche del problema di Cauchy
e del polinomio di Taylor secondo me.
e del polinomio di Taylor secondo me.
Cosa c'è, Thomas? Cos'è che ti turba? 
E' esattamente la stessa cosa. Semplicemente non dice che si tratta di un problema di Cauchy.
P.S. Il teorema di Cauchy è quello che garantisce esistenza e unicità della soluzione di un'equazione differenziale.
Boh, ti ripeto Antonio io queste cose non le ho ancora fatte neanche all'Università...
Quando ho letto nella soluzione di questo sito "problema di Cauchy" ho smesso di leggere...
Quando ho letto nella soluzione di questo sito "problema di Cauchy" ho smesso di leggere...
Hai pefettamente ragione la risposta al quesito l'ha scritta Marcello ed eravano piuttosto stanchi, non ho notato il riferimento a Cauchy. Spero di correggere quanto prima e trovare una risposta più semplice al quesito
"fireball":
Cosa c'è, Thomas? Cos'è che ti turba?
nulla nulla
niente di particolare ... è solo che non capisco perchè nessuno abbia detto finora un'opinione riguardo alla mia obiezione sulla soluzione di jack...
io credo che si poteva rispondere senza dare alcuna "dimostrazione rigorosa". D'altronde se si trova una soluzione, che sia per fortuna o intuizione o banalità, e si verifica che rispetti tutte le condizioni richieste per quale motivo non deve essere matematicamene giusta?
Il punto è verificarne l'unicità, Stephen, non che quellla sia soluzione... esistono equazioni differenziali la cui soluzione non è unica!
beh ma il quesito chiede di esibilre la fnzione, non di dimostrare che sia unica. se avessi fatto io la maturità, l'unico sforze che avrei fatto sarebbe stato quello di calcolare la derivata con la definizione... non credo che ad uno studente di liceo scientifico corso di ordinamento sia richiesta la capacità di impostare e risolvere eqazioni differenziali.....
Come dice giacor non credo che il quesito richieda di dimostrare che esiste una sola funzione che soddisfi le condizioni richieste.
Io ho fatto come è scritto nel link postato da Admin e credo che quella soluzione vada più che bene.
Io ho fatto come è scritto nel link postato da Admin e credo che quella soluzione vada più che bene.
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