Quesito 8 maturità straordinaria 2024
Nella prova straordinaria dell'esame di stato di liceo scientifico di quest'anno è stato proposto questo quesito (quesito numero 8):
Non capisco cosa viene inteso con "$p$ divide $f^{(p-1)}+1$" dato che $f^{(p-1)}+1$ rimane un polinomio, nello specifico $(p-1)!x+1$. Ad esempio per $p=3$ si ha $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x=3!x$ ma non capisco cosa si intende affermando che 3 divide $6x+1$.
Potrebbe esserci un errore nel testo? Se la funzione fosse definita come $f(x)=x^{p-1}$ allora si avrebbe che $f^{(p-1)}+1=(p-1)!+1$ e quindi $p$ divide $(p-1)!+1$, affermazione vera per il teorema di Wilson ($(p-1)!+1\equiv 0 \text{ mod }p \Leftrightarrow p$ primo).
Si considerino la funzione $f(x)=x^p$ e la sua derivata $(p-1)$-esima $f^{(p-1)}$. Si può dimostrare che, se $p$ è un numero primo, allora $p$ divide $f^{(p-1)}+1$. Verificare la correttezza dell'affermazione per tutti i numeri primi minori di 10.
Non capisco cosa viene inteso con "$p$ divide $f^{(p-1)}+1$" dato che $f^{(p-1)}+1$ rimane un polinomio, nello specifico $(p-1)!x+1$. Ad esempio per $p=3$ si ha $f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x=3!x$ ma non capisco cosa si intende affermando che 3 divide $6x+1$.
Potrebbe esserci un errore nel testo? Se la funzione fosse definita come $f(x)=x^{p-1}$ allora si avrebbe che $f^{(p-1)}+1=(p-1)!+1$ e quindi $p$ divide $(p-1)!+1$, affermazione vera per il teorema di Wilson ($(p-1)!+1\equiv 0 \text{ mod }p \Leftrightarrow p$ primo).
Risposte
Mi sembra strana la scritta $f^{(p-1)}+1$ perché manca l'rgomento della derivata; non sarà $f^{(p-1)}(+1)$ ?
Inoltre non ha senso dire che un numero divide una funzione; questa frase va bene solo parlando di numeri interi.
Inoltre non ha senso dire che un numero divide una funzione; questa frase va bene solo parlando di numeri interi.
Esattamente quello che pensavo. La scrittura è proprio quella (ho messo lo screen del testo originale in basso nel precedente post) quindi sembra parecchio ambiguo.
Io non vedo ambiguità, casomai è proprio sbagliata la tesi.
Se $f$ è una funzione, allora $f^(n)$ è un modo di rappresentare la derivata ennesima, non è necessario l'argomento per una definizione generale.
E non vedo problemi neppure nel fatto che un numero divida una funzione: $p=f(z)$ non è una funzione?
Se $f$ è una funzione, allora $f^(n)$ è un modo di rappresentare la derivata ennesima, non è necessario l'argomento per una definizione generale.
E non vedo problemi neppure nel fatto che un numero divida una funzione: $p=f(z)$ non è una funzione?
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