Quesito 6 seconda prova

[jacopo.fiore.1998]

Vi propongo la mia soluzione del quesito sei della seconda prova di ieri, chiedendovi se pensate che possa essere corretta.

La disequazione era questa:

$ | P(x)-cosx | <= 10^-3 $

Sciogliendo il modulo e riordinando:

$ -10^-3<=P(x)-cosx<= 10^-3 $

$ -10^-3-P(x)<=-cosx<= 10^-3-P(x) $

$ -10^-3+P(x)<=cosx<=10^-3+P(x) $

Della funzione coseno sappiamo che $ -1<=cosx<=1 $ è vera $ AA x in R $. Affinché anche quella di sopra sia vera $ AA x in R $, è necessario che:

$ -10^-3+P(x)<=-1<=cosx<=1<=10^-3+P(x) $

Da ciò segue che deve essere:

$ -10^-3+P(x)<=-1 ^^ 10^-3+P(x) >=1 $

$ P(x)<=-1+10^-3 ^^ P(x) >=1-10^-3$

Tale intersezione ha come soluzione l'insieme vuoto, per cui non ci sono $ P(x) $ che soddisfano la disequazione iniziale.

Spero di essere stato chiaro, grazie per l'attenzione

[jacopo.fiore.1998]

http://www.istruzione.it/esame_di_stato ... _ORD16.pdf

Dimenticavo, questo il testo ufficiale del MIUR.

[kobeilprofeta]

Deve valere per ogni $x in RR$, ma qualunque sia il polinomio si ha $lim_{x to \+infty} P(x)=\infty => lim_{x to \+infty} |P(x)-cos x|=+\infty$


Quindi è falsa

[jacopo.fiore.1998]

Sono d'accordo con questo procedimento, e il fatto che il risultato sia lo stesso mi consola.
Grazie mille

[anto_zoolander]

"kobeilprofeta":Deve valere per ogni $ x in RR $, ma qualunque sia il polinomio si ha $ lim_{x to \+infty} P(x)=\infty => lim_{x to \+infty} |P(x)-cos x|=+\infty $


Quindi è falsa

Sei sicuro? E se $P(x)$ fosse costante?

@Jacopo

se $P(x)$ è costante, non esiste alcuna costante tale che valga quella disequazione. Se $P(x)$ non è costante, dovrebbe essere quantomeno limitata.

ora proseguo più o meno sulla falsa riga di Kobe.

Infatti se dovessimo pensare la funzione, da un lato, per $cos(x)->1$ deve essere che $P(x)->k-1$
mentre dall'altro se $cos(x)->-1$ deve essere che $P(x)->1-k$

mettiamo $kin(0,10^(-3)]$

supposto che $P(x)$ possa effettivamente colmare il risultato dato da $cos(x)$ e far si che non superi i valori fissati, dovrebbe essere vero che $P(x)in[-1+k,1-k]$

ma sappiamo che $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ non è una funzione limitata.

Infatti se:

$n$ è pari e il coefficiente $a_n>0$ allora $lim_(x->pminfty)=+infty$

$n$ è pari è il coefficiente $a_n<0$ allora $lim_(x->pminfty)=-infty$

$n$ è dispari e il coefficiente $a_n>0$ allora $lim_(x->pminfty)=pminfty$

$n$ è dispari e il coefficiente $a_n<0$ allora $lim_(x->pminfty)=(-+)infty$

dunque in tutti i casi la funzione non è limitata ed esisterà almeno un valore

$alphainRR:|P(alpha)-cos(alpha)|>10^(-3)$

[jacopo.fiore.1998]

Tutto chiaro, @anto_zoolander !
Grazie per la delucidazione