Quesiti

[Sk_Anonymous]

Razionalizzare il denominatore dell'espressione: $E=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))$
e poi metterla sotto forma di differenza di due quozioenti aventi entrambi $1$ come numeratore.
Calcolare,infine,come applicazione dei risultati trovati,la somma: $s=1/(2sqrt1+1sqrt2)+1/(3sqrt2+2sqrt3)+...+1/(100sqrt99+99sqrt100)$.

Sapendo che il prezzo di un diamante è proporzionale al quadrato della sua massa,provare che,se si spezza un diamante in tre pezzi,se ne diminuisce il valore. Esprimere questa diminuzione in funzione della massa $m$ e del prezzo $p$ del diamante intero, e delle masse $ a,b,c$ di ciascuno dei pezzi.Qual è la suddivisione del diamante (sempre in tre pezzi) che conduce ad una perdita massima?

Provare che se è $a
Provare che $(a+b)/2>=sqrt(ab), (a,b in RR^+)$.

Provare che se i numeri $x,y$ sono concordi, allora: $|(x+y)/2-sqrt(x*y)|+|(x+y)/2+sqrt(x*y)|=|x|+|y|.

[_luca.barletta]

"Ainéias":

Provare che $(a+b)/2>=sqrt(ab), (a,b in RR^+)$.

E' la disuguaglianza AM-GM:

$(a+b)>=2sqrt(ab)$
$(sqrt(a)-sqrt(b))^2>=0$, sempre vera $AA a,b$ non negativi

[Sk_Anonymous]

"luca.barletta":[quote="Ainéias"]

Provare che $(a+b)/2>=sqrt(ab), (a,b in RR^+)$.

E' la disuguaglianza AM-GM:

$(a+b)>=2sqrt(ab)$
$(sqrt(a)-sqrt(b))^2>=0$, sempre vera $AA a,b$ non negativi[/quote]

Che significa AM-GM?

[_luca.barletta]

media aritmetica - media geometrica

[Sk_Anonymous]

"luca.barletta":media aritmetica - media geometrica

Vero,non ci avevo mai fatto caso.

[_luca.barletta]

"Ainéias":Razionalizzare il denominatore dell'espressione: $E=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))$
e poi metterla sotto forma di differenza di due quozioenti aventi entrambi $1$ come numeratore.

Dovrebbe essere $E=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))=1/(2sqrt(n)(n+1/2))-1/(2sqrt(n+1)(n+1/2))$, da qui è semplice...

[Sk_Anonymous]

"luca.barletta":[quote="Ainéias"]Razionalizzare il denominatore dell'espressione: $E=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))$
e poi metterla sotto forma di differenza di due quozioenti aventi entrambi $1$ come numeratore.

Dovrebbe essere $E=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))=1/(2sqrt(n)(n+1/2))-1/(2sqrt(n+1)(n+1/2))$, da qui è semplice...[/quote]

é ancora più semplice.

[Sk_Anonymous]

Il fattore razionalizzante è lo stesso denominatore...........

[TomSawyer1]

"Ainéias":Provare che se i numeri $x,y$ sono concordi, allora: $|(x+y)/2-sqrt(x*y)|+|(x+y)/2+sqrt(x*y)|=|x|+|y|.

Se sono entrambi positivi, allora $(x+y)/2-sqrt(xy)\ge0$, e $(x+y)/2+sqrt(xy)>0$, quindi si arriva a $(x+y)/2+(x+y)/2=x+y$. Se sono entrambi negativi, allora $|(x+y)/2-sqrt(xy)|=-(x+y)/2+sqrt(xy)$ e $|(x+y)/2+sqrt(xy)|=-(x+y)/2-sqrt(xy)$, per la AM-GM, e diventa $-(x+y)/2-(x+y)/2=-x-y$, come voluto.

[TomSawyer1]

"Ainéias":Provare che se è $a
Prova a riguardare questo, e a porre restrizioni su a e x, perché così non è vero.

[Sk_Anonymous]

Provare che se è $a

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[TomSawyer1]

Hmm, per $a=1/2$ e $x=1$ non è ancora vera. O $a \in NN$?

[Sk_Anonymous]

Da $a0 => ((sqrtx+a)*(sqrtx-a))/(2a+1) sqrtx>a+(x-a^2)/(2a+1)$.
Per quanto riguarda la seconda diseguaglianza si osservi che,per ogni $y$,risulta: $y(1-y)=y-y^2<=1/4$ (il segno di uguaglianza sussiste per $y=1/2$);
supposto $sqrtx-a!=1/2$, si ha: $[1-(sqrtx-a)](sqrtx-a)<1/4 => 1-(sqrtx-a)<1/(4(sqrtx-a)) => (2a+1)-(sqrtx+a)<1/(4(sqrtx-a)) => (2a+1)*(sqrtx-a)-(sqrtx-a^2)<1/4 => sqrtx

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[TomSawyer1]

Sì, ma hai sbagliato a scrivere. Ok, $sqrtx>a+(x-a^2)/(2a+1)$, ma non $sqrtx>a+(x+a^2)/(2a+1)$, come hai scritto.

[Sk_Anonymous]

Provare che se è $a