Quesiti...
Determinare un punto $P$ esterno a una circonferenza data di centro $O$ e
raggio $r$, tale che la differenza fra la distanza $OP$ e la lunghezza di uno dei
segmenti tangenti condotti da $P$ alla circonferenza abbia valore assegnato
$K$. Dire per quali valori di $K$ il problema è risolubile.
Soluzione
Dunque poniamo
$OP-PC=K$
$Pow_(Gamma)(P)=PC^2=PA*PB$
Sappiamo che
$PC^2=PB*PA$ da cui
$PC^2=PB(PB+2r)$. Inoltre $OP=PB+r$, quindi, ponendo $PB=x$ abbiamo che
$x+r-sqrt(x^2+2rx)=K$
$sqrt(x^2+2rx)-x=r-K$
Poichè è $r>0$ il primo mebro è sicuramente positivo, quindi, affinchè lo sia anche il secondo, è necessario che sia $K
Secondo voi è giusto?
raggio $r$, tale che la differenza fra la distanza $OP$ e la lunghezza di uno dei
segmenti tangenti condotti da $P$ alla circonferenza abbia valore assegnato
$K$. Dire per quali valori di $K$ il problema è risolubile.
Soluzione
Dunque poniamo
$OP-PC=K$
$Pow_(Gamma)(P)=PC^2=PA*PB$
Sappiamo che
$PC^2=PB*PA$ da cui
$PC^2=PB(PB+2r)$. Inoltre $OP=PB+r$, quindi, ponendo $PB=x$ abbiamo che
$x+r-sqrt(x^2+2rx)=K$
$sqrt(x^2+2rx)-x=r-K$
Poichè è $r>0$ il primo mebro è sicuramente positivo, quindi, affinchè lo sia anche il secondo, è necessario che sia $K
Secondo voi è giusto?
Risposte
il risultato viene... ma non capuisco i simboli (tanto per cambiare! 
)
io l'ho risolto con il teorema di Pitagora:
PO = x
CP = sqrt(x^2-r^2)
quindi l'equazione diventa
x - sqrt(x^2 - r^2) = K
da cui, isolando la radice, quadrando e semplificando x^2, si ottiene:
K^2 - 2Kx = - r^2
da cui
x = (r^2 + k^2)/2k
che e' equivalente alla tua.
PS
la condizione su k e'
0 < k < r
credo che tu avessi dato per scontata la disuguaglianza a sinistra, no?
ciao
)io l'ho risolto con il teorema di Pitagora:
PO = x
CP = sqrt(x^2-r^2)
quindi l'equazione diventa
x - sqrt(x^2 - r^2) = K
da cui, isolando la radice, quadrando e semplificando x^2, si ottiene:
K^2 - 2Kx = - r^2
da cui
x = (r^2 + k^2)/2k
che e' equivalente alla tua.
PS
la condizione su k e'
0 < k < r
credo che tu avessi dato per scontata la disuguaglianza a sinistra, no?
ciao
Si, l'ho data per scontata.
Comunque l'ho risolto con la potenza di un punto rispetto a una circonferenza che alla fine è la stessa cosa del teorema di Pitagora.
Grazie.
Comunque l'ho risolto con la potenza di un punto rispetto a una circonferenza che alla fine è la stessa cosa del teorema di Pitagora.
Grazie.
In quanti modi 5 uomini e 5 donne possono disporsi intorno a un tavolo
rotondo in modo che uomini e donne si trovino in posti alternati? Due
disposizioni debbono considerarsi uguali quando ciascuno ha a fianco le
stesse persone.
Secondo voi come si fa?
rotondo in modo che uomini e donne si trovino in posti alternati? Due
disposizioni debbono considerarsi uguali quando ciascuno ha a fianco le
stesse persone.
Secondo voi come si fa?
Dimostrare che, presi due numeri reali $a$ e $b$ si ha sempre:
$a^4+b^4>=a^3b$
Sicuramente sarà
$(a^2-b^2)^2>=0$ da cui, sviluppando i calcoli si ottiene
$a^4+b^4>=2a^2b^2$
Dobbiamo dimostrare ora che $2a^2b^2>=a^3b$
Vi viene qualcosa in mente per dimostrare quest'ultima disuguaglianza?
$a^4+b^4>=a^3b$
Sicuramente sarà
$(a^2-b^2)^2>=0$ da cui, sviluppando i calcoli si ottiene
$a^4+b^4>=2a^2b^2$
Dobbiamo dimostrare ora che $2a^2b^2>=a^3b$
Vi viene qualcosa in mente per dimostrare quest'ultima disuguaglianza?
quindi $2b>=a$??? 
fai così: dividi tutto per $a^3b$ quindi $a+(b/a)^3>=1$ se a>1 e b>0 è vera banalmente, risolvi facilmente come una disequazione provando con tutti gli altri casi possibili...
fai così: dividi tutto per $a^3b$ quindi $a+(b/a)^3>=1$ se a>1 e b>0 è vera banalmente, risolvi facilmente come una disequazione provando con tutti gli altri casi possibili...
"GuillaumedeL'Hopital":
quindi $2b>=a$???
fai così: dividi tutto per $a^3b$ quindi $a+(b/a)^3>=1$ se a>1 e b>0 è vera banalmente, risolvi facilmente come una disequazione provando con tutti gli altri casi possibili...
Puoi mettere per esteso la soluzione?
Non puoi dividere tutto per una quantità...le disuguaglianza vanno dimostrate come si dimostrano le identità. E poi $2b>=a$ è ovvio che non ha senso, io voglio dimostrare che, presi due qualsiasi reali $a$ e $b$, si verifica sempre $a^2+b^2>=a^3b$ o, equivalentemente che $2a^2b^2>=a^3b$.
Se divido tutto per una quantità significa che do per scontata la validità della disuguaglianza fin dall'inizio e questo è sbagliato.
Se divido tutto per una quantità significa che do per scontata la validità della disuguaglianza fin dall'inizio e questo è sbagliato.
"giuseppe87x":
Non puoi dividere tutto per una quantità...le disuguaglianza vanno dimostrate come si dimostrano le identità. E poi $2b>=a$ è ovvio che non ha senso, io voglio dimostrare che, presi due qualsiasi reali $a$ e $b$, si verifica sempre $a^2+b^2>=a^3b$ o, equivalentemente che $2a^2b^2>=a^3b$.
Se divido tutto per una quantità significa che do per scontata la validità della disuguaglianza fin dall'inizio e questo è sbagliato.
$2a^2b^2>=a^3b$ non è vera,prova con $a=-3,b=-1$.Io avrei una soluzione ma prima di postarla voglio vedere cosa combina guillame 
.
.
Io avevo pensato alle medie ma non viene fuori niente.
"JvloIvk":
$2a^2b^2>=a^3b$ non è vera,prova con $a=-3,b=-1$.Io avrei una soluzione ma prima di postarla voglio vedere cosa combina guillame
la posto domani pomeriggio/sera se ho tempo, non l'ho ancora risolta tutta
Fammi vedere la tua JvloIvk va...
Se a e b hanno segno diverso la diseguaglianza e' ovvia.
Supponiamo allora a e b concordi e $a>=b$ (se e'
$a<=b$ si ragiona al medesimo modo).
Risulta allora $a^3>=b^3$ e quindi:
$(a^3-b^3)(a-b)>=0$
Oppure:
$a^4+b^4>=a^3b+ab^3
Ora ,per l'ipotesi fatta sui segni di a e b,e':
$a^3b+ab^3>=a^3b e quindi ,a piu' forte ragione,risulta:
$a^4+b^4>=a^3b$
karl
Supponiamo allora a e b concordi e $a>=b$ (se e'
$a<=b$ si ragiona al medesimo modo).
Risulta allora $a^3>=b^3$ e quindi:
$(a^3-b^3)(a-b)>=0$
Oppure:
$a^4+b^4>=a^3b+ab^3
Ora ,per l'ipotesi fatta sui segni di a e b,e':
$a^3b+ab^3>=a^3b e quindi ,a piu' forte ragione,risulta:
$a^4+b^4>=a^3b$
karl
Bene, non avevo pensato a distinguere i singoli casi del segno di a e del segno di b. Grazie Karl.
Dimostriamo la disuguaglianza per tutti gli a e b concordi:
$f(a,b)=a^4+b^4-a^3b=(a-b)^4+ab(3a^2-6ab+4b^2)$
Per vedere che il trinomio di 2° grado è sempre positivo basta fare il delta.
Se a e b sono discordi è banale: a sisnistra c'è una quantià positiva e a destra negativa.
$f(a,b)=a^4+b^4-a^3b=(a-b)^4+ab(3a^2-6ab+4b^2)$
Per vedere che il trinomio di 2° grado è sempre positivo basta fare il delta.
Se a e b sono discordi è banale: a sisnistra c'è una quantià positiva e a destra negativa.
La dimotrazione di karl è molto più sintetica della mia. Ora tocca a Guillame 
!
!
IL PROBLEMA DEL TAVOLO ROTONDO:
Se i posti fossero su una singola riga come al cinema le donno potrebbero combinarsi in $5!$ modi e gli uomini in altrettanti $5!$ modi se il primo posto è occupato da un uomo o da uan donna... ma siccome vogliamo entrambi i due casi avremo $5!*5!*2$
Ma siccome il tavolo è rotondo bisogna dividere per 10.
Alla fine si avrà $(2*5!*5!)/10$
Potete darmi un giudizio su questo procedimento ed evuntualmento corregerlo?
ciao
Se i posti fossero su una singola riga come al cinema le donno potrebbero combinarsi in $5!$ modi e gli uomini in altrettanti $5!$ modi se il primo posto è occupato da un uomo o da uan donna... ma siccome vogliamo entrambi i due casi avremo $5!*5!*2$
Ma siccome il tavolo è rotondo bisogna dividere per 10.
Alla fine si avrà $(2*5!*5!)/10$
Potete darmi un giudizio su questo procedimento ed evuntualmento corregerlo?
ciao
Queta condizione è equivalente a dire il rpimo posto è occupato da un uomo o da una donna, di conseguenza gli altri saranno alternati.... Come ho detto io.....
secondome sarebbe $2*5!$ nel caso in cui un uomo avesse accanto la stessa donna, per esempio la moglie, ma nn ciò è specificato...
secondome sarebbe $2*5!$ nel caso in cui un uomo avesse accanto la stessa donna, per esempio la moglie, ma nn ciò è specificato...
Anche secondo me è giusto come dice matematicoestinto.
$(2*5!*5!)/10$
$(2*5!*5!)/10$
"JvloIvk":
La dimotrazione di karl è molto più sintetica della mia. Ora tocca a Guillame
la mia soluzione è meglio di tutte le vostre messe insieme!
passo 1) se a e b sono discordi la disuguaglianza è vera banalmente;
passo 2) se a e b sono concordi in segno possiamo ovviamente dividere entrambi i membri della disequazione per una stessa quantità senza alterarla, dividiamo per $a^3b$ e abbiamo:
$a/b+(b/a)^3>=1$ poniamo $a/b=c => c+1/c^3>=1$ c è sempre positivo se è $>=1$ la disuguaglianza è vera; se è $<1$ è vera lo stesso perchè $(1/c)^3>=1$ CVD.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo