Quei cari amiconi dei triangoli rettangoli (trigo)...:-(

[*anicka1]

Eccomi qua, con nuovi problemi che mi tolgono la tranquillità interiore...
Se qualche buon anima mi volesse aiutare, son qua!

1) E' data una semicirconferenza $γ$ di diametro AB=12 e centro O. Una semiretta di origine A incontra $γ$ in C, e in D la retta tangente a $γ$ in B in modo che risulti AD=20.
Rispondere ai seguenti quesiti:
a) determinare le funzioni goniometriche e i lati dei triangoli ABD e ABC;
b) detto M il punto medio dell'arco BC, determinare le funzioni goniometriche degli angoli BAM e CMB;
c) calcolare l'area del quadrilatero AOCN, essendo N il punto medio dell'arco AC.

Soluzioni:

a) BD=16, cosBAD=cos$α$=$3/5$; sen$α$=4/5; senADB=3/5; ABC=$π/2$-$α$=ADB; AC=$36/5$ BC=$48/5$; b) cosBAM=cos$α/2$=$2√5/5$; cosCMB=cos$(π- α)$=$-3/5$; c) area AOCN=$108/5$

2) Il triangolo ABC ha i lati AB e AC lunghi rispettivamente $b$ e $3√3b$ e l'area uguale a $√3/2$$b²$. Calcolare l'area del triangolo isoscele ACD avente per base AC e angolo alla base BAC.

Soluzione: S=$27/16$$√2$$b²$

3) Data la semicirconferenza di centro O e di diametro AB=2r, considerando la corda AF=$r√3$ e il raggio OM perpendicolare ad AB. Detto H il punto di intersezione di AF e OM, calcolare l'area del triamgolo MHF.

Soluzione: S=$(3-√3)$/$12$$r²$

Davvero grazie di cuore a tutti.
Se sarò in grado, contraccabierò volentieri.


Per questi problemi non so proprio da dove iniziare perchè purtroppo sono stata assente quando ne ha spigato la teoria...

[*anicka1]

Ehm...ho fatto un pò di mistakes nella digitazione, ecco le correzioni (sorry!):
1) prima soluz della b:
cosBAM=cos$α/2$=$(2√5)$/$5$ -->2 radice di 5 fratto 5

2)...area uguale a: $√3$/$2$•$$b²$ --> radice di 3 fratto 2, il tutto per b alla seconda

3) La soluzione è: $(3-√3)$/$12$$•$$r²$ --> (3 MENO RADICE DI 3)/12 il tutto per r alla seconda.

Spero che ora sia comprensibile......Graz...ie!

[_nicola de rosa]

1) Il triangolo $ABC$ è rettangolo perchè inscritto in una semicirconferenza.
a)
$BD=sqrt(AD^2-AB^2)=sqrt(400-144)=sqrt(256)=16$
Poi $BD=AD*sin(alpha)->sin(alpha)=(BD)/(AD)=16/20=4/5$ per cui $cos(alpha)=sqrt(1-sin^2(alpha))=sqrt(1-16/25)=3/5$
Poi $ADB=pi/2-alpha->sin(ABD)=sin(pi/2-alpha)=cos(alpha)=3/5$
$ABC=pi/2-alpha$, $BC=AB*sin(alpha)=12*4/5=48/5,AC=AB*cos(alpha)=12*3/5=36/5$
b)$BAM=alpha/2->cos(BAM)=cos(BAM)=sqrt((1+cos(alpha))/2)=sqrt((1+3/5)/2)=sqrt(4/5)=2/(sqrt5)=2sqrt5/5$ per cui
$sin(BAM)=sqrt(1-4/5)=sqrt5/5$, $CMB=pi-alpha->cos(CMB)=cos(pi-alpha)=-cos(alpha)=-3/5$
c)$A_(AOCN)=2*A_(AON)$, $A_(AON)=1/2*AO*ON*sin(AON)$ dove $AON=1/2*AOC=1/2*(pi-2alpha)=pi/2-alpha$ per cui
$A_(AOCN)=2*A_(AON)=2*1/2*6*6*sin(pi/2-alpha)=36*cos(alpha)=36*3/5=108/5$


2)Il punto $D$ si trova sul prolungamento di $AB$
$BAC=BCA=alpha$
L'area di $A_(ABC)=1/2*AB*AC*sin(alpha)->sin(alpha)=(2*A_(ABC))/(AB*AC)=1/3$ per cui $cos(alpha)=2sqrt2/3$
Per il teorema dei seni $(AD)/(sin(alpha))=(AC)/(sin(ADC))$ con $ADC=pi-2alpha$ per cui
$AD=AC*sin(alpha)/(sin(pi-2alpha))=AC*sin(alpha)/(sin(2alpha))=(AC)/(2cos(alpha))=9/4*sqrt(3/2)*b$
Ora $A_(ACD)=1/2*AD*DC*sin(ADC)=1/2*(9/4*sqrt(3/2)*b)^2*sin(2alpha)=1/2*(9/4*sqrt(3/2)*b)^2*2sin(alpha)*cos(alpha)$
=$1/2*81/16*3/2*2*1/3*2sqrt2/3*b^2=27/16*sqrt2*b^2$


3)
$FAB=alpha$, $AF=AB*cos(alpha)->cos(alpha)=sqrt3/2->alpha=pi/6$
$OH=AO*tg(alpha)=r*sqrt3/3->MH=r-OH=r/3*(3-sqrt3)$
$AH=sqrt(AO^2+OH^2)=(2r)/(sqrt3)->HF=AF-AH=r/(sqrt3)$ per cui
$A_(MHF)=1/2*MH*HF*sin(MHF)=1/2*MH*HF*sin(pi/2-alpha)=1/2*MH*HF*cos(alpha)=1/2*MH*HF*cos(pi/6)$=
$1/2*r/3*(3-sqrt3)*r/(sqrt3)*sqrt3/2=r^2/12*(3-sqrt3)$

[*anicka1]

Grazie Nica (giusto?), mi sei davvero di grande aiuto!