Quantità minima
Determinare quattro punti A,B,C,D su 4 lati consecutivi di un quadrato (uno su ogni lato) in modo che sia minima la quantità: $J=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$.
Ho immaginato di posizionare il quadrato con un vertice nell'origine degli assi e un lato parallelo all'asse x ed ho chiamato $k$ la lunghezza del lato del quadrato, cosicché i vertici del quadrato sono $(0,0)$, $(k,0)$, $(k,k)$ e $(0,k)$.
Ora invece scrivo le coordinate dei punti: preso A sul lato verticale del quadrato di ascissa $k$ ho $A(k, y_A)$, dove $0
$(k-x_B)^2+(y_A-k)^2+(x_B-0)^2+(k-y_C)^2+(0-x_D)^2+(y_C-0)^2+(x_D-k)^2+(0-y_A)^2=J$
da cui ottengo
$2x_B^2+2x_D^2+2y_A^2+2y_C^2-2k(x_B+x_D+y_A+y_C)+4k^2=J$.
A questo punto non so più andare avanti...
Ho immaginato di posizionare il quadrato con un vertice nell'origine degli assi e un lato parallelo all'asse x ed ho chiamato $k$ la lunghezza del lato del quadrato, cosicché i vertici del quadrato sono $(0,0)$, $(k,0)$, $(k,k)$ e $(0,k)$.
Ora invece scrivo le coordinate dei punti: preso A sul lato verticale del quadrato di ascissa $k$ ho $A(k, y_A)$, dove $0
$(k-x_B)^2+(y_A-k)^2+(x_B-0)^2+(k-y_C)^2+(0-x_D)^2+(y_C-0)^2+(x_D-k)^2+(0-y_A)^2=J$
da cui ottengo
$2x_B^2+2x_D^2+2y_A^2+2y_C^2-2k(x_B+x_D+y_A+y_C)+4k^2=J$.
A questo punto non so più andare avanti...
Risposte
Ciao!
Io direi così: se il quadrato ha lato 1 (osserva che la lunghezza del lato del quadrato influenza solo a livello formale la soluzione del problema) individuato dai punti (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), chiama (x,0), (0,y), (z,1), (1,w) i tuoi quattro punti. Allora puoi riscrivere la quantità da minimizzare nel seguente modo:
$(x^2+y^2)+((1-x)^2+w^2)+((1-w)^2+(1-z)^2)+(z^2+(1-y)^2)$
E ora, dopo un po' di tempo trascorso ad ammirare quest'espressione, la soluzione si presenta da sola alla mente
Ciò mi suggerisce che ci sia un metodo geometrico e molto sottile e meno 'analitico', ma personalmente non amo la geometria sintetica.
Io direi così: se il quadrato ha lato 1 (osserva che la lunghezza del lato del quadrato influenza solo a livello formale la soluzione del problema) individuato dai punti (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), chiama (x,0), (0,y), (z,1), (1,w) i tuoi quattro punti. Allora puoi riscrivere la quantità da minimizzare nel seguente modo:
$(x^2+y^2)+((1-x)^2+w^2)+((1-w)^2+(1-z)^2)+(z^2+(1-y)^2)$
E ora, dopo un po' di tempo trascorso ad ammirare quest'espressione, la soluzione si presenta da sola alla mente
Ciò mi suggerisce che ci sia un metodo geometrico e molto sottile e meno 'analitico', ma personalmente non amo la geometria sintetica.
Anche senza l'ausilio del Calcolo è possibile giungere ad una soluzione elementare del quesito.
E' sufficiente ricordare che :
$(sum_(k=1)^nx_k^2)/n>=((sum_(k=1)^nx_k)/n)^2$
oppure:
$sum_(k=1)^nx_k^2>=((sum_(k=1)^nx_k)^2)/n$
dove le $x_k$ sono variabili non negative.
La prima relazione esprime il fatto che la media dei quadrati di n quantità non negative non è
inferiore al quadrato della media delle medesime variabili.Tale relazione si estende al caso più
generale di potenze ad esponente qualsiasi.
L'eguaglianza nella relazione di cui prima (ovvero il minimo della somma dei quadrati ) si ottiene
quando tutte le variabili sono uguali.
Nel caso in questione.mantenendo le notazioni di Martino,deve essere:
x=l-x=y=l-y=z=l-z=w=l-w ovvero quando è x=y=z=w=l/2 ,essendo l il lato del quadrato.
In altre parole A,B,C,D devono essere i punti medi del lati del quadrato e la somma in questione sarà $ 2l^2$.
Esiste anche una facile risoluzione sintetica e se nessuno la posta... provvedo io.
E' sufficiente ricordare che :
$(sum_(k=1)^nx_k^2)/n>=((sum_(k=1)^nx_k)/n)^2$
oppure:
$sum_(k=1)^nx_k^2>=((sum_(k=1)^nx_k)^2)/n$
dove le $x_k$ sono variabili non negative.
La prima relazione esprime il fatto che la media dei quadrati di n quantità non negative non è
inferiore al quadrato della media delle medesime variabili.Tale relazione si estende al caso più
generale di potenze ad esponente qualsiasi.
L'eguaglianza nella relazione di cui prima (ovvero il minimo della somma dei quadrati ) si ottiene
quando tutte le variabili sono uguali.
Nel caso in questione.mantenendo le notazioni di Martino,deve essere:
x=l-x=y=l-y=z=l-z=w=l-w ovvero quando è x=y=z=w=l/2 ,essendo l il lato del quadrato.
In altre parole A,B,C,D devono essere i punti medi del lati del quadrato e la somma in questione sarà $ 2l^2$.
Esiste anche una facile risoluzione sintetica e se nessuno la posta... provvedo io.
"peppuccio":
Anche senza l'ausilio del Calcolo
Aspetta, io non ho mai parlato di ausilio del 'C'alcolo
Infatti ciò che ho lasciato sottinteso nel precedente messaggio è quanto segue.
Data la quantità
$(x^2+y^2)+((1-x^2)+w^2)+((1-w)^2+(1-z)^2)+(z^2+(1-y)^2)$
dopo una ammirazione acuta e sottile (non scherzo), la riscriviamo così:
$(x^2+(1-x)^2)+(y^2+(1-y)^2)+(z^2+(1-z)^2)+(w^2+(1-w)^2)$
Questi quattro termini sono a due a due indipendenti. Ne segue che se la quaterna (x,y,z,w) minimizza tale quantità, allora ciascuno di questi termini è minimizzato. Infatti se così non fosse, si potrebbe rimpicciolire uno di essi ottenendo qualcosa di globalmente più piccolo.
Ora, ciò significa che per giungere al nostro obiettivo è necessario minimizzare le seguenti quantità:
$x^2+(1-x)^2$
$y^2+(1-y)^2$
$z^2+(1-z)^2$
$w^2+(1-w)^2$
...c'è da aggiungere altro?
Non so quale sia lo scopo che elios vuole raggiungere.Ma se si trattasse di prepararsi
a gare o concorsi di ammissione,consiglierei caldamente di non prescindere dallo studio
delle proprietà delle medie che permettono di raggiungere risultati eleganti senza ..contorcimenti.
Risoluzione sintetica,di natura euristica più che altro ( fate in fretta a copiare se interessa !!! Non si sa mai )
Voglio dimostrare che qualunque altra configurazione diversa dai punti medi (vedi figura) porta ad un
valore maggiore nella somma da calcolare.A tale scopo basterà spostare A in A' e dimostrare che
$A'B^2+A'D^2>AB^2+AD^2$
Osserviamo dapprima che è certamente $A'O^2>AO^2$,ma per il teorema della mediana di un triangolo risulta:
$A'O^2=1/4[2(A'D^2+A'B^2)-BD^2]$
$AO^2=1/4[2(AD^2+AB^2)-BD^2]$
e dunque si ha:
$1/4[2(A'D^2+A'B^2)-BD^2]>1/4[2(AD^2+AB^2)-BD^2]$
da cui si ricava appunto:
$A'B^2+A'D^2>AB^2+AD^2$
C.V.D.
a gare o concorsi di ammissione,consiglierei caldamente di non prescindere dallo studio
delle proprietà delle medie che permettono di raggiungere risultati eleganti senza ..contorcimenti.
Risoluzione sintetica,di natura euristica più che altro ( fate in fretta a copiare se interessa !!! Non si sa mai
)Voglio dimostrare che qualunque altra configurazione diversa dai punti medi (vedi figura) porta ad un
valore maggiore nella somma da calcolare.A tale scopo basterà spostare A in A' e dimostrare che
$A'B^2+A'D^2>AB^2+AD^2$
Osserviamo dapprima che è certamente $A'O^2>AO^2$,ma per il teorema della mediana di un triangolo risulta:
$A'O^2=1/4[2(A'D^2+A'B^2)-BD^2]$
$AO^2=1/4[2(AD^2+AB^2)-BD^2]$
e dunque si ha:
$1/4[2(A'D^2+A'B^2)-BD^2]>1/4[2(AD^2+AB^2)-BD^2]$
da cui si ricava appunto:
$A'B^2+A'D^2>AB^2+AD^2$
C.V.D.
In effetti la via sintetica è anche la più semplice, a quanto pare. Grazie di tutte le risposte!
"Martino":
Ne segue che se la quaterna (x,y,z,w) minimizza tale quantità, allora ciascuno di questi termini è minimizzato. Infatti se così non fosse, si potrebbe rimpicciolire uno di essi ottenendo qualcosa di globalmente più piccolo.
Scusatemi, ma questa affermazione non mi è chiarissima..
"elios":
[quote="Martino"]Ne segue che se la quaterna (x,y,z,w) minimizza tale quantità, allora ciascuno di questi termini è minimizzato. Infatti se così non fosse, si potrebbe rimpicciolire uno di essi ottenendo qualcosa di globalmente più piccolo.
Scusatemi, ma questa affermazione non mi è chiarissima..[/quote]
Allora chiama $f(x)=x^2+(1-x)^2$. Devi minimizzare la quantità
(*) $f(x)+f(y)+f(z)+f(w)$
quando x,y,z,w variano tra 0 e 1. Ora io affermo che se i valori $x_0,y_0,z_0,w_0$ sono tali che la (*) è minima, allora $x_0$ minimizza $f(x)$, $y_0$ minimizza $f(y)$, $z_0$ minimizza $f(z)$, e $w_0$ minimizza $f(w)$. Infatti se così non fosse, possiamo supporre per assurdo che esista una quaterna $(x_0,y_0,z_0,w_0)$ che minimizza (*) ma tale che $x_0$ non minimizza $f(x)$. Ciò significa che esiste $x_1$ tale che $f(x_1)
L'idea è davvero semplice: se una somma di quattro cose indipendenti è minimizzata allora ciascuna delle quattro cose è minimizzata.
Mi sembrava l'argomento più immediato, sono desolato se appare così difficile.
"peppuccio":
$(sum_(k=1)^nx_k^2)/n>=((sum_(k=1)^nx_k)/n)^2$
oppure:
$sum_(k=1)^nx_k^2>=((sum_(k=1)^nx_k)^2)/n$
dove le $x_k$ sono variabili non negative.
Ciao peppuccio,
per caso quelle due disuguaglianza hanno un nome particolare?
Grazie
E sempre in riferimento alle disuguaglianze citate da Steven, come si dimostrano?
Mi verrebbe da dire per induzione su $n$, ma credo di avere detto una stupidagine....
Mi verrebbe da dire per induzione su $n$, ma credo di avere detto una stupidagine....
Peppuccio è a letto con l'influenza ..da ban e quindi rispondo io.
Siano $lambda,mu$ due reali qualsiasi e si consideri la funzione
$f(lambda,mu)= (lambda x_1+mu)^2 +(lambda x_2+mu)^2+...+(lambda x_n+mu)^2$
che sviluppata dà:
$f(lambda,mu)=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)lambda^2+2(x_1+x_2+...+x_n)lambda mu+n* mu^2$
Qualunque siano $lambda,mu$ risulta evidentemente che $f(lambda,mu)>=0$ e ciò,per note
regole di algebra elementare,implica che la forma quadratica precedente abbia discriminante negativo o nullo.
Ovvero deve essere:
$(x_1+x_2+...x_n)^2-n(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)<=0$ da cui si ricava che :
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2>=(x_1+x_2+...+x_n)^2/n$
che è la seconda delle due formule da dimostrare.Dividendo per n si ottiene anche la prima.
e quindi rispondo io.Siano $lambda,mu$ due reali qualsiasi e si consideri la funzione
$f(lambda,mu)= (lambda x_1+mu)^2 +(lambda x_2+mu)^2+...+(lambda x_n+mu)^2$
che sviluppata dà:
$f(lambda,mu)=(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)lambda^2+2(x_1+x_2+...+x_n)lambda mu+n* mu^2$
Qualunque siano $lambda,mu$ risulta evidentemente che $f(lambda,mu)>=0$ e ciò,per note
regole di algebra elementare,implica che la forma quadratica precedente abbia discriminante negativo o nullo.
Ovvero deve essere:
$(x_1+x_2+...x_n)^2-n(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)<=0$ da cui si ricava che :
$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2>=(x_1+x_2+...+x_n)^2/n$
che è la seconda delle due formule da dimostrare.Dividendo per n si ottiene anche la prima.
Anche se in ritardo, grazie per la disponibilità 
Ciao.
Ciao.
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