Quantificatori logici ed uguglianze

[rombo1]

L'implicazione logica di due proposizioni $p$ e $q$ si scrive come $p->q$, ma è possibile riscriverla con un equivalenza logica tramite il connettivo $ \vee$ cioè: $p->q = \not(p) \vee q$. In questo senso le tabelle di verità delle due formule logiche sono equivalenti.

Domando: I quantificatori universali "per ogni" $\forall$ ed "esiste" $\exists$ hanno anche loro un'equivalenza di questo tipo, tramite i connettivi elementari ($\vee$, $\wedge$, $\not$)?

Con i soli "per ogni" ed "esiste" si possono riscrivere come:
$\exists x, P(x) = \forall x , \not P(x) $
$\forall x, P(x) = \exists x , \not P(x) $

Lo chiedo perché, nel ragionare su questo tipo di argomenti, mi trovo più a mio agio con un i costrutti più semplici; come nel disbrigare implicazioni più complesse tramite un semplice "oppure".

Grazie

[killing_buddha]

Hai dimenticato un \(\lnot\) prima dei quantificatori a destra:
\[
\begin{gather*}
\exists xPx = \lnot\forall x : \lnot Px\\
\forall x Px = \lnot\exists x : \lnot Px
\end{gather*}
\]
La risposta alla domanda, comunque, penso sia no: non puoi ridurre un quantificatore esistenziale o universale a una composizione finita di \(\land,\lor,\lnot\), puoi solo esprimere $\forall$ in termini di $\exists$ e viceversa.

[Indrjo Dedej]

Puoi introdurre nel tuo linguaggio $\exists$ e definire a questo $\forall$, o viceversa. Questo sì puoi farlo di sicuro.
Riguardo al tuo dubbio: se il tuo universo del discorso è finito (cosa significa questo (formalmente)?), ovvero le tue predicazioni possono avvenire su un numero finito di oggetti, puoi imporre come definizione \[\big(\forall x \colon \mathcal P (x)\big) = \text{congiunzione dei \(\mathcal P (\bullet)\) al variare di $\bullet$} \ .\] A te proporre una definizione per $\exists$. Risulta in tal senso semplice provare quelle equivalenze che hai proposto all'inizio (certo, vanno corrette ancora...).
Se invece l'universo del discorso è infinito (che significa infinito?), beh...

Domandina rompina: e $=$ cosa significa in quel contesto? L'hai definito in che modo? Devi chiarire anche questo passo prima...