Qualche precisazione..
ciao a tutti..alla vigilia degli esami di stato sono qui per chiedervi alcune precisazioni sullo svolgimento della seconda prova di matematica..
quello che mi preme innanzitutto sapere è:
nei quesiti dove si chiede di dimostrare che una data equazione ha un dato numero di soluzioni è sufficiente interpretare graficamente il problema?
es.
Si dimostri che l'equazione
E' sufficiente in questo caso far notare graficamente che la curva
grazie:)
quello che mi preme innanzitutto sapere è:
nei quesiti dove si chiede di dimostrare che una data equazione ha un dato numero di soluzioni è sufficiente interpretare graficamente il problema?
es.
Si dimostri che l'equazione
[math]log(x)+x=0[/math]
ha un'unica radice reale.E' sufficiente in questo caso far notare graficamente che la curva
[math]y=log(x)[/math]
interseca la retta [math]y=-x[/math]
in un solo punto?grazie:)
Risposte
Il metodo grafico, che io sappia, è sufficiente a dimostrare il numero di intersezioni tra le funzioni, pertanto se algebricamente non si riesce, direi che la dimostrazione grafica è sufficiente e va benissimo..
Comunque aspetterei che il nostro Tutor esprimesse il suo parere decisivo e finale:satisfied
Comunque aspetterei che il nostro Tutor esprimesse il suo parere decisivo e finale:satisfied
Aleio, ascolta, non voglio distruggerti una certezza, ma sebbene graficamente le cose si vedano, ciò non è sufficiente a dimostrare ciò che vuoi. Di solito, per fare questo tipo di cose, devi procedere al modo seguente:
supponi di volere risolvere l'equazione
Fatte tutte queste cose, puoi applicare il teorema di esistenza degli zeri affermando che ci saranno zeri solo in quelli intervalli dove la funzione cambia segno.
Nel caso da te proposto,
A questo punto puoi concludere quanto segue: la funzione è sempre crescente e parte da meno infinito fino ad arrivare a più infinito. Ciò implica che essa cambierà segno solo una volta: se così non fosse, infatti, ci sarebbero dei massimi e minimi tra zero è più infinito, dovuti al fatto che la funzione interseca l'asse x più di una volta. Ciò implica che esiste una sola radice.
Il metodo grafico, a questo punto, ti permette di visualizzare velocemente dove ci sia questo zero (punto di intersezione, nel tuo caso, delle curva
Spero di aver soddisfatto la tua richiesta.
supponi di volere risolvere l'equazione
[math]f(x)=0[/math]
: a tal fine, considera la funzione [math]y=f(x)[/math]
e determinane il dominio. Fatto questo, calcola i limiti a tutti gli estremi degli intervalli che compongono il dominio: ciò ti permette di capire quale sia il segno sui vari intorni degli estremi del dominio. A questo punto, determina la derivata, i massimi, i minimi e la monotonia (crescenza o decrescenza) della funzione stessa.Fatte tutte queste cose, puoi applicare il teorema di esistenza degli zeri affermando che ci saranno zeri solo in quelli intervalli dove la funzione cambia segno.
Nel caso da te proposto,
[math]f(x)=\log\ x+x[/math]
, avrai:[math]D=(0,+\infty)[/math]
[math]\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty[/math]
[math]f'(x)=\frac{1}{x}+1=\frac{x+1}{x}[/math]
che risulta sempre positiva e mai nulla sul dominio.A questo punto puoi concludere quanto segue: la funzione è sempre crescente e parte da meno infinito fino ad arrivare a più infinito. Ciò implica che essa cambierà segno solo una volta: se così non fosse, infatti, ci sarebbero dei massimi e minimi tra zero è più infinito, dovuti al fatto che la funzione interseca l'asse x più di una volta. Ciò implica che esiste una sola radice.
Il metodo grafico, a questo punto, ti permette di visualizzare velocemente dove ci sia questo zero (punto di intersezione, nel tuo caso, delle curva
[math]y=\log\ x[/math]
e [math]y=-x[/math]
.Spero di aver soddisfatto la tua richiesta.
io sono molto soddisfatto... :lol
(anche se la richiesta non è mia)..
(anche se la richiesta non è mia)..
mi sento soddisatto anche io..tornerò nelle prossime ore con qualche altra domanda da porvi aspettando la seconda prova..
grazie:)
grazie:)
Dopo il principio di esistenza degli zeri che permette di affermare che esiste almeno 1 soluzione nell'intervallo si passa al:
Primo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata prima della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)
Se il primo teorema non si verifica si passa al
Secondo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata seconda della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)
Se né la derivata prima né la derivata seconda sono sempre positivi o negative nell'intervallo vuol dire che hai sbagliato qualcosa =XD
Esistenza degli zeri >> esiste almeno una soluzione
Primo o Secondo teorema di unicità >> esiste un'unica soluzione
Primo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata prima della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)
Se il primo teorema non si verifica si passa al
Secondo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata seconda della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)
Se né la derivata prima né la derivata seconda sono sempre positivi o negative nell'intervallo vuol dire che hai sbagliato qualcosa =XD
Esistenza degli zeri >> esiste almeno una soluzione
Primo o Secondo teorema di unicità >> esiste un'unica soluzione
adry105:
Dopo il principio di esistenza degli zeri che permette di affermare che esiste almeno 1 soluzione nell'intervallo si passa al:
Primo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata prima della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)
Se il primo teorema non si verifica si passa al
Secondo teorema di unicità (che permette di affermare che se la derivata seconda della funzione è sempre positiva o negativa nell'intervallo da te scelto allora esiste un'unica soluzione)
Se né la derivata prima né la derivata seconda sono sempre positivi o negative nell'intervallo vuol dire che hai sbagliato qualcosa =XD
Esistenza degli zeri >> esiste almeno una soluzione
Primo o Secondo teorema di unicità >> esiste un'unica soluzione
Adry, io sono Ricercatore in Matematica, specializzatio in Analisi e Geometria differenziale, e sti teoremi di unicità di cui parli non gli ho mai sentiti. Mi scriveresti il loro enunciato corretto, per favore?
Premetto che la mia professoressa ha sempre spiegato dai sui libri, non ha mai usato il nostro libro, quindi non so da dove li abbia presi e che cosa siano: Comunque:
Primo Teorema di Unicità
Ipotesi:
1) se
2) se [math]f(a)f(b)
Primo Teorema di Unicità
Ipotesi:
1) se
[math]f[/math]
è cont. in [math][a,b][/math]
2) se [math]f(a)f(b)
effettivamente anche io ho sentito parlare di una sorta di teorema dell'unicità ma non l'ho mai studiato...in ogni caso avrei da porvi un'altra domanda..
Se una curva (ad esempio di 3° grado) è tangente all'asse x in un punto (a;0) e "secante" sempre all'asse x in un punto (b;0) la rispettiva equazione ha come soluzioni x=a ed x=b ma si può dire che x=a è una "soluzione doppia"??
L'ho letto in una risoluzione di un problema e mi chiedevo se ogni qual volta una curva è tangente all'asse x in un punto, in quel punto vi sono due zeri coincidenti.
grazie:)
Se una curva (ad esempio di 3° grado) è tangente all'asse x in un punto (a;0) e "secante" sempre all'asse x in un punto (b;0) la rispettiva equazione ha come soluzioni x=a ed x=b ma si può dire che x=a è una "soluzione doppia"??
L'ho letto in una risoluzione di un problema e mi chiedevo se ogni qual volta una curva è tangente all'asse x in un punto, in quel punto vi sono due zeri coincidenti.
grazie:)
[quote]adry105:
Premetto che la mia professoressa ha sempre spiegato dai sui libri, non ha mai usato il nostro libro, quindi non so da dove li abbia presi e che cosa siano: Comunque:
Primo Teorema di Unicità
Ipotesi:
1) se
2) se [math]f(a)f(b)
Premetto che la mia professoressa ha sempre spiegato dai sui libri, non ha mai usato il nostro libro, quindi non so da dove li abbia presi e che cosa siano: Comunque:
Primo Teorema di Unicità
Ipotesi:
1) se
[math]f[/math]
è cont. in [math][a,b][/math]
2) se [math]f(a)f(b)
mm..:) capisco ma perchè?
Boh non lo so =)
Aleio parti per esempio da una secante che interseca in due punti la circonferenza, portala ad una etremità della circonferenza facendo coincidere i due punti di intersezione; in questo caso ottieni una retta tangente, è proprio per questo che la sola condizione di tangenza corrisponde a 2 zeri coincidenti =)
Aleio parti per esempio da una secante che interseca in due punti la circonferenza, portala ad una etremità della circonferenza facendo coincidere i due punti di intersezione; in questo caso ottieni una retta tangente, è proprio per questo che la sola condizione di tangenza corrisponde a 2 zeri coincidenti =)
Definzione: un punto
Equivalentemente questo vuol dire che in un intorno sufficientemente piccolo di
Riescia vedere dove si trova l'analogia con la tua situazione?
[math]a\in\mathbb{R}[/math]
si dice zero di molteplicità m per una funzione [math]f(x)[/math]
reale se[math]f^{(k)}(a)=0,\quad k=0,\ldots,m-1,\qquad f^{(m)}(a)\neq 0[/math]
.Equivalentemente questo vuol dire che in un intorno sufficientemente piccolo di
[math]a[/math]
si ha [math]f(x)=(x-a)^m\cdot g(x)[/math]
e [math]g(a)\neq 0[/math]
.Riescia vedere dove si trova l'analogia con la tua situazione?
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