Qualche esercizio di aritmetica
Vi propongo questi esercizi non del tutto standard
ma stimolanti (almeno credo...).
a)mostrare che ,per ogni intero positivo n, il numero
5^n+2*3^(n-1)+1
e' divisibile per 8
b)Se (a,b,c) sono rispettivamente (ipotenusa,cateto,cateto)
di un triangolo rettangolo,allora per n>2 e':
a^n>b^n+c^n
c) Dimostrare che ogni intero positivo che ammette un
divisore dispari e' esprimibile come somma di piu'
numeri (interi,positivi) consecutivi.
Ciao.
ma stimolanti (almeno credo...).
a)mostrare che ,per ogni intero positivo n, il numero
5^n+2*3^(n-1)+1
e' divisibile per 8
b)Se (a,b,c) sono rispettivamente (ipotenusa,cateto,cateto)
di un triangolo rettangolo,allora per n>2 e':
a^n>b^n+c^n
c) Dimostrare che ogni intero positivo che ammette un
divisore dispari e' esprimibile come somma di piu'
numeri (interi,positivi) consecutivi.
Ciao.
Risposte
primo quesito
mi serve di dimostrare questo risultato prima:
5^n-1 e' sempre divisibile per 4
Dim;
iopotesi induttiva: 5^n-1=4k
dim:
5^(n+1)-1=5*5^n-5+4=5(5^n-1)+4=5*4k+4=4(5k+1) cvd.
passiamo ora all dimostrazione dell'enunciato originale
ipotesi induttiva 5^n+2*3^(n-1)+1=8k
Dim
5^(n+1)+2*3^n+1=
=5*5n+3[2*3^(n-1)]+1=
=5*5^n+3[5^n+2*3^(n-1)+1]-3*5^n-3+1= (ho aggiunto e sottratto 3*5^n e 3)
=2*5^n-2+3*8k= (per ipotesi induttiva)
=2(5^n-1)+8*3k=
=2*4T+8*3k= (ho utilizzato il risultato preliminarmente dimostrato)
=8(T+3k) cvd
Sembra lungo e complicato, ma solo perche', per chiarezza, ho specificato tutti i passaggi.
a fra poco per il secondo
mi serve di dimostrare questo risultato prima:
5^n-1 e' sempre divisibile per 4
Dim;
iopotesi induttiva: 5^n-1=4k
dim:
5^(n+1)-1=5*5^n-5+4=5(5^n-1)+4=5*4k+4=4(5k+1) cvd.
passiamo ora all dimostrazione dell'enunciato originale
ipotesi induttiva 5^n+2*3^(n-1)+1=8k
Dim
5^(n+1)+2*3^n+1=
=5*5n+3[2*3^(n-1)]+1=
=5*5^n+3[5^n+2*3^(n-1)+1]-3*5^n-3+1= (ho aggiunto e sottratto 3*5^n e 3)
=2*5^n-2+3*8k= (per ipotesi induttiva)
=2(5^n-1)+8*3k=
=2*4T+8*3k= (ho utilizzato il risultato preliminarmente dimostrato)
=8(T+3k) cvd
Sembra lungo e complicato, ma solo perche', per chiarezza, ho specificato tutti i passaggi.
a fra poco per il secondo
SECONDO PROBLEMA
La mia soluzione si basa su una piccola variazione del principio di induzione:
anzicche verificare la tesi solo per n=3, la si verifica anche per n=4 (NOTA: un numero pari e uno dispari!!)
dopodiche' si assume, come di consueto la tesi vera per n, ma anzicche' dimostrarla vera anche per n+1, la si dimostra vera per n+2
A questo punto avendola verificata per n=3 e 4 si ha che la tesi sara' vera per tutti i numeri pari e per tutti i numeri dispari, ovvero per tutti i numeri!!
Basta con le chiacchiere, vengo al sodo:
Ipotesi induttiva:
a^n>b^n+c^n con a^2=b^2+c^2 (il triangolo e' rettangolo!!)
moltiplicando ambo i membri per a^2 si ottiene
a^2*a^n>a^2*(b^n+c^n)
a^(n+2)>(b^2+c^2)*(b^n+c^n)=b^(n+2)+c^(n+2)+b^2*c^n+c^2*b^n>b^(n+2)+c^(n+2) cvd
Che te ne pare?
Ora ho un'ora di lezione, quindi il terzo problema lo affrontero' fra un po'
Ciao, Giuseppe
La mia soluzione si basa su una piccola variazione del principio di induzione:
anzicche verificare la tesi solo per n=3, la si verifica anche per n=4 (NOTA: un numero pari e uno dispari!!)
dopodiche' si assume, come di consueto la tesi vera per n, ma anzicche' dimostrarla vera anche per n+1, la si dimostra vera per n+2
A questo punto avendola verificata per n=3 e 4 si ha che la tesi sara' vera per tutti i numeri pari e per tutti i numeri dispari, ovvero per tutti i numeri!!
Basta con le chiacchiere, vengo al sodo:
Ipotesi induttiva:
a^n>b^n+c^n con a^2=b^2+c^2 (il triangolo e' rettangolo!!)
moltiplicando ambo i membri per a^2 si ottiene
a^2*a^n>a^2*(b^n+c^n)
a^(n+2)>(b^2+c^2)*(b^n+c^n)=b^(n+2)+c^(n+2)+b^2*c^n+c^2*b^n>b^(n+2)+c^(n+2) cvd
Che te ne pare?
Ora ho un'ora di lezione, quindi il terzo problema lo affrontero' fra un po'
Ciao, Giuseppe
credo di avercela fatta anche per quanto riguarda il terzo!
sia n il numero divisibile per un dispari.
Sia d il dispari in questione.
Sia dunque
n=dk
Allora
n=SOMMATORIA per i da 0 a 2[d/2] di k+[d/2]+i
dove ovviamente [d/2] sta per parte intera di d mezzi. Evidentemente tutti i termini della sommatoria sono interi consecutivi.
La verifica e' banale
Giusto?
Ciao,
Giuseppe
sia n il numero divisibile per un dispari.
Sia d il dispari in questione.
Sia dunque
n=dk
Allora
n=SOMMATORIA per i da 0 a 2[d/2] di k+[d/2]+i
dove ovviamente [d/2] sta per parte intera di d mezzi. Evidentemente tutti i termini della sommatoria sono interi consecutivi.
La verifica e' banale
Giusto?
Ciao,
Giuseppe
Complimenti per la velocita' e per l'esecuzione.
Le mie soluzioni sono un po' diverse nella forma
ma sostanzialmente coincidenti con le tue nella
sostanza.
Ciao.
Le mie soluzioni sono un po' diverse nella forma
ma sostanzialmente coincidenti con le tue nella
sostanza.
Ciao.
carina la tua versione dell'induzione giuseppe.
p.s. sti giorni vanno di moda le varianti dell'induzione..
ciao
p.s. sti giorni vanno di moda le varianti dell'induzione..
ciao
eh eh eh
vero!
ciao
vero!
ciao
Comunque, risolvendo il terzo problema ci si accorge che si puo'rafforzare l'affermazione
dicendo che
se un numero e' divisibile per un numero dispari d, allora lo si puo' esprimere come somma di d numeri consecutivi.
Non so a voi, ma a me questa cosa piace
ciao ciao
dicendo che
se un numero e' divisibile per un numero dispari d, allora lo si puo' esprimere come somma di d numeri consecutivi.
Non so a voi, ma a me questa cosa piace
ciao ciao
sei sicuro che è vero quello che dici giuseppe? ad esempio 14 è divisibile per 7 ma non mi sembra ci siano 7 numeri consecutivi la cui somma è 14
certo che ci sono: masono interi, non naturali:
14=-1+0+1+2+3+4+5
Colgo l'occasione per una errata/corrige
nella mia forula/dimostrazione ho scritto nella sommatoria
"k+[d/2]+i"
sostituitela con
"k-[d/2]+i"
basta applicare la formula u dato un qualsiasi numero non potenza di due (cioe' con almeno un divisore d dispari) troverete il modo per scriverlo come somma di d INTERI consecutivi.
no?
Ciao, Giuseppe
14=-1+0+1+2+3+4+5
Colgo l'occasione per una errata/corrige
nella mia forula/dimostrazione ho scritto nella sommatoria
"k+[d/2]+i"
sostituitela con
"k-[d/2]+i"
basta applicare la formula u dato un qualsiasi numero non potenza di due (cioe' con almeno un divisore d dispari) troverete il modo per scriverlo come somma di d INTERI consecutivi.
no?
Ciao, Giuseppe
mi sono accorto solo ora che il problema chiedeva una risposta in N, ma la mia dimostrazione e' ancora valida, infatti nel caso emergano numeri negativi, questi si elideranno con altri subbito dopo lo zero e quindi il problema proposto e' risolto
ESEMPIO
dalla formula che ho dedotto, si ha
14=(-1+0+1)+2+3+4+5=2+3+4+5
Possiamo dire che se lasciamo cadere la richiesta di positivita' otteniamo un risultato piu' forte (in quanto stabilisce anche il numero di addendi coinvolti)e quindi, per il mio personalissimo gusto, piu' bello
Mi interesserebbe veramente sapere se siete d'accordo con me, Uber e Archimede.
Ciao,
Giuseppe
ESEMPIO
dalla formula che ho dedotto, si ha
14=(-1+0+1)+2+3+4+5=2+3+4+5
Possiamo dire che se lasciamo cadere la richiesta di positivita' otteniamo un risultato piu' forte (in quanto stabilisce anche il numero di addendi coinvolti)e quindi, per il mio personalissimo gusto, piu' bello
Mi interesserebbe veramente sapere se siete d'accordo con me, Uber e Archimede.
Ciao,
Giuseppe
Io sono d'accordo.Amo ..alla follia le generalizzazioni!
Ciao.
Ciao.
anch'io sono d'accordo.. l'eleganza prima di tutto!
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