Qualche dubbio sulle trasformazioni

[Lollo961]

Salve a tutti, il mio prof è incozzato a morte con noi per sacrosanti motivi di cui non parlerò. Fatto sta che, dopo averci dato un compito in classe parecchio tosto e lungo per punizione, oggi ha rincarato la dose spiegando una marea di roba sulle trasformazioni geometriche in un'ora. Andiamo al punto. Ho alcuni dubbi riguardo le rette unite. Lui ci ha detto di trovarle, fondamentalemente, "combinando" la trasformazione inversa e la classica equazione delle rette \(\displaystyle y=mx+q \). E eguagliando il coefficiente angolare e il termine noto. Ma non sarebbe più naturale sostituire le x e le y della trasformazione con quelle dell'equazione della retta (probabilmente non mi sono spiegato...)?
Seconda cosa: le rette di forma \(\displaystyle y=mx+q \) non comprendono le parallele all'asse y. Ecco qui non ho proprio capito che verifica devo fare per rendermi conto se ci sia o meno una retta fissa di questo genere.
Terzo punto: In un'affinità le misure lineari delle controimmagini e immagini sono legate da un fattore pari alla radice del determinante? (l'ho notato da un esercizio, ma è probabile che sia una cosa totalmente campata in aria).
Scusate per il semi-wallpost, ma tutti questi argomenti non sono trattati nel libro e non ho possibilità di confrontarmi con gli altri compagni di classe che ci hanno capito meno di me.

PS Argomento fighissimo

Edit: risolto il punto due, bastava una ricerchina sul web.

[giammaria2]

Per il primo punto non ho capito la domanda; forse sarebbe meglio se tu la illustrassi con un esempio.
Hai già risolto il secondo punto e per il terzo ti dico che in generale non è vero; lo è per le similitudini e per qualche particolare scelta di punti. Lo puoi verificare con la trasformazione
${(X=2x+5y), (Y=-x+2y):}$
che lascia invariata l'origine e trasforma $A(2,0),B(0,1)$ in $A'(4,-2), B'(5,2)$: non c'è alcun legame fra la radice del determinante ed i rapporti fra i segmenti $OA,OB$ o loro trasformati.