Quadrilatero convesso

[elios2]

Si mostri che, dati comunque 5 punti nel piano a 3 a 3 non allineati, 4 di essi sono i vertici di un quadrilatero convesso (un insieme S è detto convesso se, dati comunque x, y appartenenti a S, tutto il segmento congiungente x a y è contenuto in S).

[Ho provato a portare avanti una dimostrazione per assurdo, ma non ottengo niente di rigoroso.. Vi ringrazio se mi aiutate ad arrivare alla soluzione. Grazie!]

[G.D.5]

Qualche suggerimento.
Il fatto che i punti siano a tre a tre non allineati dovrebbe garantirti la possibilità di costruire quadrilateri comunque vengano presi quattro punti dei cinque assegnati.
Costruito i qudrilatero possono succedere due cose: o è convesso o è concavo.
Seè convesso hai finito se è concavo allora...considera gli angoli.

P.S.
Non garantisco che quello che ho detto sia esente da stupidaggini.

[elios2]

Non so se c'entri qualcosa ma, se prendo tre punti non allineati potrò ottenere 6 angoli, tre dei quali minori di 180° e tre maggiori di 180°.
mmmm...

[G.D.5]

Direi che non centra molto con quello che avevo in mente. Almeno non del tutto.
Gli angoli cui facevo riferimento sono quelli di un quadrilatero
La mia dimostrazione è costruttiva: se si giunge al quadrilatero concavo si tira fuori il convesso con alcune considerazioni sugli angoli.

[elios2]

Ok, sono celebrolesa..

[G.D.5]

Dai...non ti buttar giù.

Ti indico qualche altra cosa riguardo la mia dimostrazione.

La mia idea è questa: arrivati ad avere in qudrilatero concavo bisogna mostrare come è possibile costruire quello convesso. Ovviamente un solo punto rimane fuori dalla costruzione che porta al quadrilatero concavo. Tutto sta nel vedere dove può stare questo punto con riferimento alle rette sulle quali giaciono i lati del quadrilatero concavo, perché in quadrilatero concavo c'è uno e un solo angolo maggiore dell'angolo piatto e per avere quello convesso serve che tutti e quattro gli angoli siano minori dell'angolo piatto.

[elios2]

Ok. Allora, il quinto punto può essere all'interno della figura o all'esterno. Se è all'esterno, può trovarsi all'interno del segmento che unisce i due punti che gli sono più vicini, oppure all'esterno. Se si trova all'esterno, ricollegato ai 3 punti iniziali sarà convesso; se si trova all'interno, posso dedurre che ottengo un quadrilatero convesso unendo i due punti che gli sono vicini e gli altri 2 rimasti. Se è all'interno posso trovare tre punti da unirgli tali che formano un quadrilatero convesso. (lo so, è orribile..)

[G.D.5]

Se con

"elios":trovarsi all'interno del segmento che unisce i due punti

intendi dire che il punto può appartenere al segmento che unisce due vertici del quadrilatero, credo sia sbagliato, perché in questo modo verrebbe meno la non collinearità data per ipotesi.
Per il resto, intuitivamente direi che ci sei, ci sono solo dei piccoli accorgimenti da apportare.
Lascio quindi la mia costruzione del quadrilatero convesso tra spolier, così se vuoi puoi aggiustare quello che hai scritto anche senza dover essere costretta a leggere il casino confusionario che sto per srcivere.

Dimostrazione
Preliminarmente, teniamo presenti i seguenti fatti:
i) un poligono è convesso se, e solo se, tutti i suoi angoli interni sono minori dell'angolo piatto;
ii) un poligono è concavo se, e solo se, almeno un suo angolo è maggiore dell'angolo piatto;
iii) un quadrilatero concavo ha un solo angolo maggiore dell'angolo piatto.
Ciò premesso, la non collinearità dei punti assegnati e presi a tre a tre garantisce la possibilità di costruire il quadrilatero.
a) Se questo è convesso la dimostrazione è conclusa;
b) Se questo è concavo bisogna costruirne uno convesso con il quinto punto rimasto escluso dalla costruzione.

In virtù di iii) se il nostro quadrilatero è concavo allora vi è un solo angolo maggiore dell'angolo piatto. Senza perdita di generalità, sia $C$ il vertice di questo angolo e siano $B$ e $D$ i vertici del quadrilatero giacenti sui suoi lati. Sia $A$ il restante vertice.



Per definizione di concavità, esiste almeno un segmento, congiungente due punti della figura, che non è interamente contenuto nella figura stessa: tale è, per esempio, il segmento $BD$. Tracciato questo segmento si ottiene un triangolo, i cui angoli sono certamente minori dell'angolo piatto.
Fatto ciò si prolunghino da una parte e dall'altra tutti i lati di questo triangolo.



Fatto ciò, il punto rimasto, che chiameremo $E$ può trovarsi all'esterno ao all'interno del triangolo $ABD$.
Cominciamo col caso in cui $E$ è esterno a $ABD$.

Si consideri l'angolo (di piano) $\hat{ADB}$ convesso: questo è tagliato in due parti dalla retta $AB$, una parte forma il triangolo $ABD$ l'altra è una parte di piano illimitata in una sola direzione. Se il punto $E$ appartiene a questa porzione di piano basta unirlo con $A$ e $B$ per ottenere il qudrilatero convesso.
Analoghe considerazioni valgono se il punto $E$ si trova nelle porzioni di piano ottenute come differenza tra l'angolo (di piano) $\hat{BAD}$ (risp. $\hat{ADB}$) e il triangolo $ABD$.



Si consideri l'angolo (di piano) $\hat{BAD}$; si prenda il suo opposto al vertice: se $E$ appartiene a questa porzione di piano, l'angolo $\hat{CAE}$ (che contiene il triangolo $ABD$) è maggiore dell'angolo piatto e l'angolo $\hat{CAE}$ (che non contiene il triangolo $ABD$) è minore dell'angolo piatto; si consideri il prolungamento di $AC$ in questa parte di piano. Quindi si unisce $E$ con $D$ e $A$ con $C$, oppure $E$ con $B$ e $A$ con $C$ a seconda che, rispettivamente, $E$ si trovi nella parte della parte di piano considerata opposta al vertice dell'angolo $\hat{BAC}$ oppure $\hat{CAD}$.
Analoghe considerazioni valgono se $E$ si trova nelle parti di piano opposte al vertice degli angoli (di piano) conevssi $\hat{ADB}$ e $\hat{ABD}$.



Consideriamo ora il caso in cui $E$ sia interno al triangolo $ABD$.
Se $E$ appartiene al triangolo $BCD$ allora prolunghiamo $AC$ tagliando $BCD$. Si ottengono due triangoli, uno che contiene l'angolo $D$ e uno che contiene l'angolo $B$. Se $E$ appartiene al primo allora si unisce $C$ con $E$ e quest'ultimo con $D$: il qudrilatero cercato è $ACED$. Analogamente si procede nel secondo caso ottenendo $ABEC$.



Infine, il punto $E$ può appartenere al qudrilatero concavo $ABCD$. In tal caso, tracciato il segmento $AC$ e prolungati i segmenti $CD$ e $BC$ in modo da tagliare il quadrilatero stesso, consideriamo il caso in cui $E$ appartenga al triangoloo $ACB$: il prolungamento di $DC$ taglia $ABC$ in due parti, di cui una contenente il vartice $A$ e la'latra il vertice $B$. Se $E$ appartiene alla prima parte allora uniamo $E$ con $C$ e $B$ ottenendo il quadrilatero convesso $AECD$, se appartiene alla seconda parte uniamo $E$ con B$ e con $C$ ottenendo il quadrilatero convesso $BECD$.
Analogamente si procede se $E$ appartiene al triangolo $ACD$.

P.S.
Chiedo scusa per la eccessiva prolessità della mia "dimostrazione".
Penso che oltre questo noiso procedimento costruttivo ci possa essere anche una dimostrazione più concisa e stilisticamente migliore, ma non ho nient'altro per la testa.

[elios2]

Per 'trovarsi all'interno' non intendevo che era sul segmento, ma che si trovava nella parte di piano all'interno del segmento... Non c'è un modo decente per spiegarlo a parole!

[elios2]

Comunque l'idea era quella che hai sviluppato tu, di analizzare caso per caso, ma la differenza che c'è tra me e te è la differenza tra chi sa accendere un televisore e chi lo ha progettato ! No, davvero, grazie mille! Sei illuminante!