Quadrilatero 01

[matrix1]

Le bisettrici dei 4 angoli interni del quadrilatero ABCD si incontrano in quattro punti U,V,W,X. Si dimostri che per i punti U,V,W,X passa una circonferenza.

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[Sk_Anonymous]

Siano 2a,2b,2c,2d gli angoli del quadilatero
in A,B,C ,D (con A in basso a destra della
figura e gli altri vertici disposti in senso
antiorario).Siano poi:
X l'intersezione delle bisettrici in A e in D
U l'intersezione delle bisettrici in C e in D
V l'intersezione delle bisettrici in B e in C
W l'intersezione delle bisettrici in A e in B
Osserviamo ora che:
2a+2b+2c+2d=2*pi--->a+b+c+d=pi.
Inoltre:
Dal triangolo AWB risulta:
(angolo)AWB=pi-a-b
Dal triangolo DUC risulta:
(angolo)DUC=pi-c-d
Dunque AWB+DUC=2*pi-(a+b+c+d)=pi
e cio' prova la tesi.
A me il quadrilatero XUVW viene con
X situato in basso e dalla parte del lato DA
U situato a destra e dalla parte del lato AB
V situato in alto e dalla parte del lato BC
W situato a sinistra e dalla parte del lato DC
X,U,V,W in senso antiorario.
Naturalmente la figura puo' cambiare in relazione
a come si disegna il quadrilatero ma non cambia
la sostanza della dimostrazione.
karl.

[matrix1]

Ottima dimostrazione (solo mi pare che, se A è in basso a destra e se la nomenclatura ABCD è antioraria, X stia "sopra" e V "sotto").
Un'alternativa (molto simile comunque alla tua dimostrazione) può essere questa (X è l'intersezione delle bisettrici in A e D, V è l'intersezione delle bisettrici in B e C):
AXD+BVC=180-(a+d)+180-(b+c)=360-(a+b+c+d)=180
da cui la tesi.

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Modificato da - matrix il 22/04/2004 21:47:36