Quadrato di un trinomio
Salve a tutti, non riesco a sviluppare la seguente:
$64a^4+32a^3b-12a^2b^2-4ab^3+b^4$=$(8a^2+2ab-b^2)^2$
L'espressione deriva da:
$(9a^2)^2+(a-b)^4-2(a-b)^2*9a^2$=$(8a^2+2ab-b^2)^2$
Mi interessano tutti i passaggi per arrivare al quadrato del trinomio.
Ringrazio anticipatamente
$64a^4+32a^3b-12a^2b^2-4ab^3+b^4$=$(8a^2+2ab-b^2)^2$
L'espressione deriva da:
$(9a^2)^2+(a-b)^4-2(a-b)^2*9a^2$=$(8a^2+2ab-b^2)^2$
Mi interessano tutti i passaggi per arrivare al quadrato del trinomio.
Ringrazio anticipatamente
Risposte
Ciao, ti manca solamente il quadrato del trinomio? Allora la formula è questa: $$
\left(A + B + C\right)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC
$$ cioè
* quadrato del primo
* quadrato del secondo
* quadrato del terzo
* doppio prodotto del primo per il secondo
* doppio prodotto del primo per il terzo
* doppio prodotto del secondo per il terzo.
Nel tuo caso $$
\left(8a^2 + 2ab - b^2\right)^2 = 64a^4 + 4a^2 b^2 + b^4 + 32 a^3 b - 16a^2 b^2 - 4 a b^3 =\\= 64a^4 - 12a^2 b^2 + b^4 + 32 a^3 b - 4 a b^3.
$$
Fai sapere se hai altri dubbi.
\left(A + B + C\right)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC
$$ cioè
* quadrato del primo
* quadrato del secondo
* quadrato del terzo
* doppio prodotto del primo per il secondo
* doppio prodotto del primo per il terzo
* doppio prodotto del secondo per il terzo.
Nel tuo caso $$
\left(8a^2 + 2ab - b^2\right)^2 = 64a^4 + 4a^2 b^2 + b^4 + 32 a^3 b - 16a^2 b^2 - 4 a b^3 =\\= 64a^4 - 12a^2 b^2 + b^4 + 32 a^3 b - 4 a b^3.
$$
Fai sapere se hai altri dubbi.
Ti ringrazio per la risposta, ma la tua soluzione la conosco già. Quello che mi interessa sono i passaggi inversi, mi spiego meglio:
Da qui: $64a^4+32a^3b-12a^2b^2-4ab^3+b^4$ come faccio ad arrivare a qui? $(8a^2+2ab-b^2)^2$
oppure:
Da qui : $(9a^2)^2+(a-b)^4-2(a-b)^2*9a^2$come faccio ad arrivare a qui? $(8a^2+2ab-b^2)^2$
Da qui: $64a^4+32a^3b-12a^2b^2-4ab^3+b^4$ come faccio ad arrivare a qui? $(8a^2+2ab-b^2)^2$
oppure:
Da qui : $(9a^2)^2+(a-b)^4-2(a-b)^2*9a^2$come faccio ad arrivare a qui? $(8a^2+2ab-b^2)^2$
Secondo me se non sai che il primo polinomio è lo sviluppo del quadrato di un trinomio è difficile accorgersene. Se lo sai ti basta cercare di isolare i termini al quadrato e sistemare di conseguenza i doppi prodotti.
Entro in maggiori dettagli rispetto a Burm87.
C'è una regola, valida per tutti i polinomi, ma è abbastanza lunga e complicata e confesso di non ricordarla; ti spiego come faccio io, partendo dal polinomio ordinato, e come esempio prendo il tuo; indicherò con $A,B,C$ i tre termini del trinomio da trovare, mentre parlando di primo, secondo, eccetera mi riferirò al polinomio dato.
Come prima cosa, controllo il primo e l'ultimo termine, che devono essere i quadrati di $A,C$ e ne deduco $A=+-8a^2$ e $C=+-b^2$. Ad $A$ assegno arbitrariamente il segno più e lascio in bianco il segno di $C$; scrivo quindi $8a^2....b^2$, in cui i puntini sostituiscono uno spazio vuoto in cui inserire $B$ ed il segno di $b^2$.
Ora esamino il secondo termine, che è $2AB$: quindi $2*8a^2*B=32a^3b->B=+2ab$ e lo scrivo nello spazio vuoto. Il penultimo termine è $2AC$: ha il segno meno, quindi, poiché $B$ ha il più, $C$ ha il meno e lo scrivo nello spazio.
A questo punto ho il mio trinomio, ma nessuna garanzia per il termine centrale: la cosa più semplice è calcolarne il quadrato e controllare che tutto vada bene.
Se il controllo non va bene o se qualche calcolo è stato impossibile (e se non ho fatto errori di distrazione) il tutto non è il quadrato di un trinomio.
C'è una regola, valida per tutti i polinomi, ma è abbastanza lunga e complicata e confesso di non ricordarla; ti spiego come faccio io, partendo dal polinomio ordinato, e come esempio prendo il tuo; indicherò con $A,B,C$ i tre termini del trinomio da trovare, mentre parlando di primo, secondo, eccetera mi riferirò al polinomio dato.
Come prima cosa, controllo il primo e l'ultimo termine, che devono essere i quadrati di $A,C$ e ne deduco $A=+-8a^2$ e $C=+-b^2$. Ad $A$ assegno arbitrariamente il segno più e lascio in bianco il segno di $C$; scrivo quindi $8a^2....b^2$, in cui i puntini sostituiscono uno spazio vuoto in cui inserire $B$ ed il segno di $b^2$.
Ora esamino il secondo termine, che è $2AB$: quindi $2*8a^2*B=32a^3b->B=+2ab$ e lo scrivo nello spazio vuoto. Il penultimo termine è $2AC$: ha il segno meno, quindi, poiché $B$ ha il più, $C$ ha il meno e lo scrivo nello spazio.
A questo punto ho il mio trinomio, ma nessuna garanzia per il termine centrale: la cosa più semplice è calcolarne il quadrato e controllare che tutto vada bene.
Se il controllo non va bene o se qualche calcolo è stato impossibile (e se non ho fatto errori di distrazione) il tutto non è il quadrato di un trinomio.
Più semplicemente si può osservare che l'espressione di partenza si può scrivere come :
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
e questa è chiaramente il quadrato del binomio $ (9a^2)-(a-b)^2$
Pertanto il valore finale è :
$[9a^2-(a-b)^2]^2=[9a^2-(a^2-2ab+b^2)]^2=(9a^2-a^2+2ab-b^2)^2=(8a^2+2ab-b^2)^2$
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
e questa è chiaramente il quadrato del binomio $ (9a^2)-(a-b)^2$
Pertanto il valore finale è :
$[9a^2-(a-b)^2]^2=[9a^2-(a^2-2ab+b^2)]^2=(9a^2-a^2+2ab-b^2)^2=(8a^2+2ab-b^2)^2$
"ciromario":
Più semplicemente si può osservare che l'espressione di partenza si può scrivere come :
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
e questa è chiaramente il quadrato del binomio $ (9a^2)-(a-b)^2$
Pertanto il valore finale è :
$[9a^2-(a-b)^2]^2=[9a^2-(a^2-2ab+b^2)]^2=(9a^2-a^2+2ab-b^2)^2=(8a^2+2ab-b^2)^2$
Mi fai vedere i passaggi da qui
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
a qui?
$[9a^2-(a-b)^2]^2$
Non c'è nessun passaggio. Ti ricordo che $(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB$. In questo caso $A = 9a^2$ e $B = (a-b)^2$. Bastava avere un po' di attenzione.
"FELICE1":
[quote="ciromario"]Più semplicemente si può osservare che l'espressione di partenza si può scrivere come :
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
e questa è chiaramente il quadrato del binomio $ (9a^2)-(a-b)^2$
Pertanto il valore finale è :
$[9a^2-(a-b)^2]^2=[9a^2-(a^2-2ab+b^2)]^2=(9a^2-a^2+2ab-b^2)^2=(8a^2+2ab-b^2)^2$
Mi fai vedere i passaggi da qui
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
a qui?
$[9a^2-(a-b)^2]^2$[/quote]
Ok, conosci la regola:
$(a+b)^2=...$
Nel tuo caso, immagina $a=9a^2$ e $b=(a-b)^2$. Il passaggio è uno solo, e cioè questo.
"Pianoth":
Non c'è nessun passaggio. Ti ricordo che $(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB$. In questo caso $A = 9a^2$ e $B = (a-b)^2$. Bastava avere un po' di attenzione.
Si adesso l'ho visto il binomio al quadrato. Il mio errore è stato quello di concentrarmi sul trinomio al quadrato.
Grazie
"LucaM":
[quote="FELICE1"][quote="ciromario"]Più semplicemente si può osservare che l'espressione di partenza si può scrivere come :
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
e questa è chiaramente il quadrato del binomio $ (9a^2)-(a-b)^2$
Pertanto il valore finale è :
$[9a^2-(a-b)^2]^2=[9a^2-(a^2-2ab+b^2)]^2=(9a^2-a^2+2ab-b^2)^2=(8a^2+2ab-b^2)^2$
Mi fai vedere i passaggi da qui
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
a qui?
$[9a^2-(a-b)^2]^2$[/quote]
Ok, conosci la regola:
$(a+b)^2=...$
Nel tuo caso, immagina $a=9a^2$ e $b=(a-b)^2$. Il passaggio è uno solo, e cioè questo.[/quote]
La regola la conosco, ma non vedevo il binomio al quadrato.
Grazie
"LucaM":
[quote="FELICE1"][quote="ciromario"]Più semplicemente si può osservare che l'espressione di partenza si può scrivere come :
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
e questa è chiaramente il quadrato del binomio $ (9a^2)-(a-b)^2$
Pertanto il valore finale è :
$[9a^2-(a-b)^2]^2=[9a^2-(a^2-2ab+b^2)]^2=(9a^2-a^2+2ab-b^2)^2=(8a^2+2ab-b^2)^2$
Mi fai vedere i passaggi da qui
$(9a^2)^2+((a-b)^2)^2-2(9a^2)(a-b)^2$
a qui?
$[9a^2-(a-b)^2]^2$[/quote]
Ok, conosci la regola:
$(a+b)^2=...$
Nel tuo caso, immagina $a=9a^2$ e $b=(a-b)^2$. Il passaggio è uno solo, e cioè questo.[/quote]
La regola la conosco, ma mi ero fissato sul quadrato di un trinomio percui non vedevo che invece si tratta di un binomio
Grazie
[xdom="giammaria"]Richiamo al rispetto del regolamento:
3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.[/xdom]
3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase.[/xdom]
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