Quadrato di media e media di quadrati
Ciao, amici!
Non riesco a trovare alcuna informazione circa un'ipotesi che mi è venuta in mente, così chiedo qua, dove so che c'è gente in gamba...
Facendo alcuni calcoli numerici ritrovo sempre che, per le $x_i$ che mi è capitato di usare
$((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 < (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n$
Vorrei chiedere a chi ne sa più di me se è un risultato valido in generale e, se sì, come si dimostra... Nel caso di n = 2 l'ho dimostrato facilmente a me stesso, ma, nel caso di n > 2 non saprei...
$\sum_{k=0}^{oo} grazie_k$ a tutti!
Non riesco a trovare alcuna informazione circa un'ipotesi che mi è venuta in mente, così chiedo qua, dove so che c'è gente in gamba...
Facendo alcuni calcoli numerici ritrovo sempre che, per le $x_i$ che mi è capitato di usare
$((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 < (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n$
Vorrei chiedere a chi ne sa più di me se è un risultato valido in generale e, se sì, come si dimostra... Nel caso di n = 2 l'ho dimostrato facilmente a me stesso, ma, nel caso di n > 2 non saprei...
$\sum_{k=0}^{oo} grazie_k$ a tutti!
Risposte
A me sembra falso a prima vista. Ma a che condizione devono soddisfare gli x?Ad esempio per n =2 se fai $((10^3 +10^3)^2)/4$ ti viene $10^6$ e ottieni lo stesso numero pure facendo la somma dei quadrati e dividi per 2
Come dice alfaceti, se lasci il $<$ è falsa, ma se metti il $<=$ allora è vera.
La quantità $ (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2$ è proprio la varianza di una distribuzione discreta, che è necessariamente $>=0$.
$Var(X)=(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n>=0$ (ho indicato la media aritmetica con $\barx$)
Se sviluppi il quadrato del binomio arrivi a dimostrare la tua diseguaglianza.
La quantità $ (\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2$ è proprio la varianza di una distribuzione discreta, che è necessariamente $>=0$.
$Var(X)=(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n>=0$ (ho indicato la media aritmetica con $\barx$)
Se sviluppi il quadrato del binomio arrivi a dimostrare la tua diseguaglianza.
A me invece pare vera, a patto che gli $x_j$ siano a due a due distinti. Infatti si tratta esattamente della stretta convessità della funzione $x \mapsto x^2$.
[asvg]ymin=0; ymax=1; xmin=-1; xmax=1; axes(); plot("x^2");[/asvg]Anche è interessante l'interpretazione probabilistica di cenzo.
[asvg]ymin=0; ymax=1; xmin=-1; xmax=1; axes(); plot("x^2");[/asvg]Anche è interessante l'interpretazione probabilistica di cenzo.
Se $x_i < 1$ è falsa. Vale la disuguaglianza inversa.
Grazie $+oo$ a tutti! Interessantissimi contributi... Riguardo a quanto scritto da Cenzo, direi che
$(\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 = (\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n hArr \sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2$
Svolgendo il quadrato del binomio, mi pare che
$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ e quindi
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ per cui (eliminando i termini uguali dei due membri e miltiplicando per -n)
$(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = 2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2-(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2/n$
ma qua mi sembra che ci sia qualcosa che non va... Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi dove sbaglio?
Una serie infinita di grazie a tutti!
$(\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 = (\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n hArr \sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2$
Svolgendo il quadrato del binomio, mi pare che
$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ e quindi
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ per cui (eliminando i termini uguali dei due membri e miltiplicando per -n)
$(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = 2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2-(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2/n$
ma qua mi sembra che ci sia qualcosa che non va... Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi dove sbaglio?
Una serie infinita di grazie a tutti!
"DavideGenova":
Svolgendo il quadrato del binomio, mi pare che
$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ e quindi
Vedo un errore nel terzo addendo. Dimentichi di applicare la sommatoria esterna al quadrato della media.
La differenza tra i due termini del primo post, e quindi la varianza, è uguale a zero se e solo se gli $x_i$ sono tutti uguali.
Ah ah, che errore stupido! Grazie di cuore, Cenzo!
$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+n((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ quindi
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2/n ((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2/n$ per cui (eliminando i termini uguali dei due membri e moltiplicando per n)
$-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = -2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2$ come volevasi dimostrare.
Grazie ancora!!!
Grazie di cuore, Cenzo!$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+n((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ quindi
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2/n ((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2/n$ per cui (eliminando i termini uguali dei due membri e moltiplicando per n)
$-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = -2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2$ come volevasi dimostrare.
Grazie ancora!!!
Prego, ciao.
Ragazzi ma siete sicuri di tutta questa roba?
Insomma, ovviamente la varianza è positiva essendo la somma di quadrati ma è sicuro che la differenza tra quelle due somme dia luogo a quella quantità positiva? A me non convince nè questo fatto e neppure la dimostrazione di Davide
Insomma, ovviamente la varianza è positiva essendo la somma di quadrati ma è sicuro che la differenza tra quelle due somme dia luogo a quella quantità positiva? A me non convince nè questo fatto e neppure la dimostrazione di Davide
"alfaceti":
Ragazzi ma siete sicuri di tutta questa roba?
Insomma, ovviamente la varianza è positiva essendo la somma di quadrati ma è sicuro che la differenza tra quelle due somme dia luogo a quella quantità positiva? A me non convince nè questo fatto e neppure la dimostrazione di Davide
Ciao, perchè non ti quadra ?
Grazie di nuovo, Alfa Ceti, per l'intervento!
Riporto per chiarezza per tutti coloro che passano di qua la dimostrazione corretta da Cenzo -che approfitto dell'occasione per ringraziare di nuovo-:
si vuole dimostrare che
$(\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 = (\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n >= 0$
È chiaro che un quadrato di un numero reale fratto un numero naturale non è mai negativo, quindi resta da dimostrare che
$(\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 = (\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n$ cioè, moltiplicando i due membri per n:
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2$
Ora dato che $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+n((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ si ha che
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2/n ((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2/n$ per cui (eliminando i termini uguali dei due membri e moltiplicando per n)
$-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = -2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2$ che a me pare che dimostri quanto affermato da Cenzo.
Ciao e grazie a tutti!!!
Riporto per chiarezza per tutti coloro che passano di qua la dimostrazione corretta da Cenzo -che approfitto dell'occasione per ringraziare di nuovo-:
si vuole dimostrare che
$(\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 = (\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n >= 0$
È chiaro che un quadrato di un numero reale fratto un numero naturale non è mai negativo, quindi resta da dimostrare che
$(\sum_{i=1}^{n} x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n} x_i)/n)^2 = (\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n$ cioè, moltiplicando i due membri per n:
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2$
Ora dato che $\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)\sum_{i=1}^{n}x_i+n((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2$ si ha che
$\sum_{i=1}^{n} x_i^2-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2/n = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2/n ((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2/n$ per cui (eliminando i termini uguali dei due membri e moltiplicando per n)
$-(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = -2(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2+(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2$ che a me pare che dimostri quanto affermato da Cenzo.
Ciao e grazie a tutti!!!
Ecco quello che risulta a me
$(sum_(i = 1)^(n) x_i^2)/n -((sum_(i = 1)^(n) x_i)/n)^2 = 1/n(sum_(i = 1)^(n) x_i^2 -n((sum_(i = 1)^(n) x_i)/n)^2)$ $ = (sum_(i = 1)^(n) (x_i^2 -barx^2))/n$
facciamo un esempio. Per n = 3
Faccio tutti i passaggi così se sbaglio qualcosa si capisce meglio dove sbaglio.
$(x_1^2+x_2^2+x_3^2)/3 -((x_1+x_2+x_3)/3)^2 = 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -(x_1+x_2+x_3)^2/3)= 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -3((x_1+x_2+x_3)/3)^2)$
$ = 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -3barx^2) = 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -barx^2 -barx^2 -barx^2) = (sum_(i = 1)^(3)(x_i^2-barx^2))/3
In pratica mi viene la somma di una differenza di quadrati e non la somma del quadrato di una differenza.
Della dimostrazione di Davide-Cenzo ho capito solo lo sviluppo del quadrato, poi mi perdo. Non capisco il penultimo passaggio.
$(sum_(i = 1)^(n) x_i^2)/n -((sum_(i = 1)^(n) x_i)/n)^2 = 1/n(sum_(i = 1)^(n) x_i^2 -n((sum_(i = 1)^(n) x_i)/n)^2)$ $ = (sum_(i = 1)^(n) (x_i^2 -barx^2))/n$
facciamo un esempio. Per n = 3
Faccio tutti i passaggi così se sbaglio qualcosa si capisce meglio dove sbaglio.
$(x_1^2+x_2^2+x_3^2)/3 -((x_1+x_2+x_3)/3)^2 = 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -(x_1+x_2+x_3)^2/3)= 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -3((x_1+x_2+x_3)/3)^2)$
$ = 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -3barx^2) = 1/3(x_1^2+x_2^2+x_3^2 -barx^2 -barx^2 -barx^2) = (sum_(i = 1)^(3)(x_i^2-barx^2))/3
In pratica mi viene la somma di una differenza di quadrati e non la somma del quadrato di una differenza.
Della dimostrazione di Davide-Cenzo ho capito solo lo sviluppo del quadrato, poi mi perdo. Non capisco il penultimo passaggio.
[Cancellato perché ho scritto una stupidaggine, che stavo rimuovendo quando mi sono accorto che Cenzo, che ringrazio tanto di nuovo, l'ha corretta, infatti è vero che, per la natura della media aritmetica $\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-\barx^2)-=(\sum_{i=1}^{n}x_i-\barx)^2$]
"DavideGenova":
$1/n(sum_(i = 1)^(n) x_i^2 -n((sum_(i = 1)^(n) x_i)/n)^2) = (sum_(i = 1)^(n) x_i^2 -(\sum_{i=1}^{n}x_i)^2/n)/n ≠ (sum_(i = 1)^(n) x_i^2 -((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2)/n= (sum_(i = 1)^(n) (x_i^2 -barx^2))/n$
@Davide: vedo un errore nell'ultima uguaglianza ($\barx^2 ne n*\barx^2$)$
A me sembra che i calcoli di Alfaceti siano corretti, così come i precedenti di Davide. Non vedo contraddizione, si esprime la stessa quantità in forme diverse.
Però nella forma di Davide, si vede bene che dev'essere verificata la disuguaglianza $>=0$.
Riporto questi passaggi che spero possano risultare più chiari:
$Var(X)=(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\barx)^2)/n=(\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2\barx*x_i+\barx^2))/n=(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\barx*\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}\barx^2)/n=(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\barx*n\barx+n\barx^2)/n=(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\barx^2)/n=$
$=(\sum_{i=1}^{n}x_i^2)/n-\barx^2=(sum_{i=1}^{n}x_i^2)/n-((\sum_{i=1}^{n}x_i)/n)^2>=0$
(ho tenuto conto che $\sum_{i=1}^{n}x_i=n\barx$, dalla definizione di media aritmetica)
E' un risultato noto che la varianza, definita come media degli scarti al quadrato, si possa esprimere come differenza tra la media dei quadrati e il quadrato della media (vedi ad esempio qui).
Ora è tutto chiaro, grazie mille per la spiegazione, non ricordavo affatto questo teorema. 
Prego, ciao. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo