Quadrati perfetti nella forma ak + b
ciao a tutti 
Ecco un problema in cui mi sono imbattuto:
"Dire quali di questi numeri possono essere dei quadrati perfetti per opportuni k
$3k + 2$, $5k+2$, $7k+3$ ecc. ecc.
ora, io ho ragionato così:
se ho un numero nella forma $ak + b$, poniamolo uguale a $q^2$; quindi $q^2$ è congruo a $b$ modulo $a$; ovvero $ak + b = q^2 rArr q^2 -= b\ (\ mod \ a)$
quindi per controllare se un numero nella forma $ak + b$ può essere un quadrato perfetto al variare di $k$ basta vedere se $b$ fa parte dei residui quadratici di $a$, cosa che mi fa concludere che tutti gli esercizi proposti hanno come risposta 'no'.
L'esercizio seguente però dice:
"Trova tutti i valori $k$ per cui i seguenti numeri sono quadrati perfetti"
1) $7k + 3$
2) $6k + 2$
3) $28k^3 + 24k^2 + 3k - 1$
lasciando per ora da parte il 3), (credo di doverlo scomporre ma non riesco a venirne a capo per ora), per i motivi esposti sopra pensavo che gli esercizi 1) e 2) fossero impossibili, dato che i residui quadratici modulo 6 sono [0, 1, 3, 4] mentre quelli modulo 7 sono [0, 1, 4]
dove sto sbagliando?
grazie
Ecco un problema in cui mi sono imbattuto:
"Dire quali di questi numeri possono essere dei quadrati perfetti per opportuni k
$3k + 2$, $5k+2$, $7k+3$ ecc. ecc.
ora, io ho ragionato così:
se ho un numero nella forma $ak + b$, poniamolo uguale a $q^2$; quindi $q^2$ è congruo a $b$ modulo $a$; ovvero $ak + b = q^2 rArr q^2 -= b\ (\ mod \ a)$
quindi per controllare se un numero nella forma $ak + b$ può essere un quadrato perfetto al variare di $k$ basta vedere se $b$ fa parte dei residui quadratici di $a$, cosa che mi fa concludere che tutti gli esercizi proposti hanno come risposta 'no'.
L'esercizio seguente però dice:
"Trova tutti i valori $k$ per cui i seguenti numeri sono quadrati perfetti"
1) $7k + 3$
2) $6k + 2$
3) $28k^3 + 24k^2 + 3k - 1$
lasciando per ora da parte il 3), (credo di doverlo scomporre ma non riesco a venirne a capo per ora), per i motivi esposti sopra pensavo che gli esercizi 1) e 2) fossero impossibili, dato che i residui quadratici modulo 6 sono [0, 1, 3, 4] mentre quelli modulo 7 sono [0, 1, 4]
dove sto sbagliando?
grazie
Risposte
Forse lo dai per scontato, ma non trovo scritto in nessun posto che $k$ deve per forza essere intero.
PS il terzo si scompone con Ruffini con $1/7$.
PS il terzo si scompone con Ruffini con $1/7$.
beh però se ammettiamo che $k$ sia razionale per risolvere l'equazione
$ak + b = n^2$ basta scegliere $k =( n^2 - b) / a$ per $n, a ,b$ qualsiasi.. quindi credo proprio che $k$ sia intero, anche se non è specificato..
ps hai usato qualche tecnica particolare per ricavarti $1/7$? grazie
$ak + b = n^2$ basta scegliere $k =( n^2 - b) / a$ per $n, a ,b$ qualsiasi.. quindi credo proprio che $k$ sia intero, anche se non è specificato..
ps hai usato qualche tecnica particolare per ricavarti $1/7$? grazie
Premeto che non sono un gran conoscitore dei residui quadratici, però volevo farti un appunto:
Tu hai detto che $3k+1$ (con $k$ intero) non può mai essere un quadrato perfetto.
Invece non è così: prova con $k=5$, con $k=8$, anche con $k=1$ o $k=0$. Vengono fuori dei quadrati perfetti.
Aggiungo: i quadrati di tutti i numeri interi non divisibili per $3$ (quindi i quadrati di $1,2,4,5,7,8,10,...$, ovvero $1,4,16,25,49,64,100,...$)
sono esprimibili nella forma $3k+1$, per un opportuno $k in ZZ$
Lo si può dimostrare molto facilmente (ti metto la dimostrazione in spoiler, se ti può interessare)
Tu hai detto che $3k+1$ (con $k$ intero) non può mai essere un quadrato perfetto.
Invece non è così: prova con $k=5$, con $k=8$, anche con $k=1$ o $k=0$. Vengono fuori dei quadrati perfetti.
Aggiungo: i quadrati di tutti i numeri interi non divisibili per $3$ (quindi i quadrati di $1,2,4,5,7,8,10,...$, ovvero $1,4,16,25,49,64,100,...$)
sono esprimibili nella forma $3k+1$, per un opportuno $k in ZZ$
Lo si può dimostrare molto facilmente (ti metto la dimostrazione in spoiler, se ti può interessare)
bella la dimostrazione (anche se basterebbe tenere in conto i residui quadratici.. infatti abbiamo $0^2 -= 0 (\ mod\ 3), 1^2 -= 1 (\ mod\ 3), 2^2 -= 1 (\ mod\ 3)$, per cui i numeri non divisibili per $3$ elevati al quadrato sono congrui a $1 \ (mod\ 3)$, quindi sono esprimibili nella forma $3k + 1$ )
cmq è stato un errore mio di battitura, sul forum ho scritto $3k + 1$ mentre l'esercizio vero (quello su cui mi sono basato) è $3k + 2$.. per quanto riguarda $3k + 1$, essendo i residui quadratici di 3 pari a [0, 1], può essere un quadrato perfetto (come hai mostrato tu).. ma $3k + 2$ no, secondo il mio ragionamento (che peraltro non sono nemmeno sicuro sia corretto, per quanto mi sembra proprio di si)
ora provo con un algoritmo brute-force per il caso $7k + 3$, quello che secondo il libro dovrebbe avere soluzioni, e vedo se riesco a trovare un controesempio
ps ho verificato.. il libro dice 'Trova tutti i valori di $k$ per cui i seguenti numeri sono quadrati perfetti: $7k + 3$ ecc.
ora, ho verificato per tutti i $k$ interi fino a $1000000$, ma nulla.. a questo punto direi che effettivamente è impossibile, no?
(anche se basterebbe tenere in conto i residui quadratici.. infatti abbiamo $0^2 -= 0 (\ mod\ 3), 1^2 -= 1 (\ mod\ 3), 2^2 -= 1 (\ mod\ 3)$, per cui i numeri non divisibili per $3$ elevati al quadrato sono congrui a $1 \ (mod\ 3)$, quindi sono esprimibili nella forma $3k + 1$ ) cmq è stato un errore mio di battitura, sul forum ho scritto $3k + 1$ mentre l'esercizio vero (quello su cui mi sono basato) è $3k + 2$.. per quanto riguarda $3k + 1$, essendo i residui quadratici di 3 pari a [0, 1], può essere un quadrato perfetto (come hai mostrato tu).. ma $3k + 2$ no, secondo il mio ragionamento (che peraltro non sono nemmeno sicuro sia corretto, per quanto mi sembra proprio di si)
ora provo con un algoritmo brute-force per il caso $7k + 3$, quello che secondo il libro dovrebbe avere soluzioni, e vedo se riesco a trovare un controesempio
ps ho verificato.. il libro dice 'Trova tutti i valori di $k$ per cui i seguenti numeri sono quadrati perfetti: $7k + 3$ ecc.
ora, ho verificato per tutti i $k$ interi fino a $1000000$, ma nulla.. a questo punto direi che effettivamente è impossibile, no?
"ant.py":
beh però se ammettiamo che $k$ sia razionale per risolvere l'equazione
$ak + b = n^2$ basta scegliere $k =( n^2 - b) / a$ per $n, a ,b$ qualsiasi.. quindi credo proprio che $k$ sia intero, anche se non è specificato..
Volevo solo dire che sarebbe stato opportuno specificarlo, visto che con k razionale le possibilità ci sono.
"ant.py":
ps hai usato qualche tecnica particolare per ricavarti $1/7$? grazie
I numeri con cui provare Ruffini si cercano tra i razionali in cui
- a numeratore ci sia un divisore del termine noto
- a denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
Nel caso del tuo esercizio quindi ha senso provare Ruffini con $+-1; +- 1/2; +-1/4; +-1/7; +- 1/14; +-1/28 $
"@melia":
[quote="ant.py"]beh però se ammettiamo che $k$ sia razionale per risolvere l'equazione
$ak + b = n^2$ basta scegliere $k =( n^2 - b) / a$ per $n, a ,b$ qualsiasi.. quindi credo proprio che $k$ sia intero, anche se non è specificato..
Volevo solo dire che sarebbe stato opportuno specificarlo, visto che con k razionale le possibilità ci sono. [/quote]
ah perfetto
"ant.py":
ps hai usato qualche tecnica particolare per ricavarti $1/7$? grazie
I numeri con cui provare Ruffini si cercano tra i razionali in cui
- a numeratore ci sia un divisore del termine noto
- a denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
Nel caso del tuo esercizio quindi ha senso provare Ruffini con $+-1; +- 1/2; +-1/4; +-1/7; +- 1/14; +-1/28 $
perfetto di nuovo, grazie
me lo ricorderò
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