Punto di flesso a tangente verticale. E punto angoloso?
Ciao ragazzi,
volevo chiedervi un parere su una mia perplessità, che non capisco se provenga da una mia incomprensione
Il punto è questo: in più di un esercizio, analizzando funzioni con diversi rami, ho trovato punti di non derivabilità, alcuni dei quali, avendo i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale entrambi + o - $\propto$, sono, come sapete, punti di flesso a tangente verticale, cioè punti in cui la funzione modifica la sua concavità e la tangente passante per quel punto è parallela all'asse delle ordinate.
In altri esercizi, ho trovato punti di non derivabilità che sono risultati essere dei punti angolosi, poiché i risultati dei limiti destro e sinistro erano finiti ma diversi. In alcuni di questi punti, la funzione modificava la sua concavità. In questo modo, mi sono trovato di fronte di nuovo a punti in cui la funzione cambia la concavità e la tangente che vi passa è parallela all'asse delle ordinate.
Ma allora, mi chiedo, da dove deriva la scelta di utilizzare il termine "punto di flesso a tangente verticale" se la definizione non è esclusiva, e sia il cambio di concavità che la tangente verticale sono presenti anche in alcuni punti angolosi?
Perché utilizzare nella scelta del nome due caratteristiche entrambe presenti ANCHE in un'altra tipologia di punto?
volevo chiedervi un parere su una mia perplessità, che non capisco se provenga da una mia incomprensione
Il punto è questo: in più di un esercizio, analizzando funzioni con diversi rami, ho trovato punti di non derivabilità, alcuni dei quali, avendo i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale entrambi + o - $\propto$, sono, come sapete, punti di flesso a tangente verticale, cioè punti in cui la funzione modifica la sua concavità e la tangente passante per quel punto è parallela all'asse delle ordinate.
In altri esercizi, ho trovato punti di non derivabilità che sono risultati essere dei punti angolosi, poiché i risultati dei limiti destro e sinistro erano finiti ma diversi. In alcuni di questi punti, la funzione modificava la sua concavità. In questo modo, mi sono trovato di fronte di nuovo a punti in cui la funzione cambia la concavità e la tangente che vi passa è parallela all'asse delle ordinate.
Ma allora, mi chiedo, da dove deriva la scelta di utilizzare il termine "punto di flesso a tangente verticale" se la definizione non è esclusiva, e sia il cambio di concavità che la tangente verticale sono presenti anche in alcuni punti angolosi?
Perché utilizzare nella scelta del nome due caratteristiche entrambe presenti ANCHE in un'altra tipologia di punto?
Risposte
Esempi? Per capire meglio …
Un momento solo, axpgn.
Per esempio, la funzione definita come:
$y=-x^2$ se x $\leq$-1
$y=2x^2+4x+1$ se $x>1$
(sono due rami della stessa funzione, non riesco a racchiuderla nella graffa)
ha un punto di non derivabilità in $x=-1$.
I limiti destro e sinistro del punto sono finiti e diversi (se non sbaglio, 0 e -2), così il punto risulta essere un punto angoloso, cioè un punto dove la tangente è parallela all'asse delle ordinate.
Allo stesso tempo però in questo punto la funzione cambia la sua concavità, quindi il punto risulta essere di flesso, da qui il mio dubbio: perché non dovrebbe essere chiamato "flesso a tangente verticale"?
$y=-x^2$ se x $\leq$-1
$y=2x^2+4x+1$ se $x>1$
(sono due rami della stessa funzione, non riesco a racchiuderla nella graffa)
ha un punto di non derivabilità in $x=-1$.
I limiti destro e sinistro del punto sono finiti e diversi (se non sbaglio, 0 e -2), così il punto risulta essere un punto angoloso, cioè un punto dove la tangente è parallela all'asse delle ordinate.
Allo stesso tempo però in questo punto la funzione cambia la sua concavità, quindi il punto risulta essere di flesso, da qui il mio dubbio: perché non dovrebbe essere chiamato "flesso a tangente verticale"?
Premesso che non è vero che le tangenti (ovvero il valore delle derivate) sono parallele all'asse delle ordinate (tant'è che ne hai calcolato il valore corretto ma diverso da infinito), sinceramente io non perderei tanto tempo con la "nomenclatura" (cuspide, punto angoloso, ecc.) ma piuttosto mi concentrerei sul significato (che mi pare ti sfugga un pochino se calcoli le derivate e le trovi finite e poi sei convinto che siano infinite 
)
Inoltre questa è una funzione a tratti ovvero, in pratica, sono due funzioni diverse "appiccicate" una all'altra e allora puoi fare venire fuori di tutto (o quasi … )
Cordialmente, Alex
)Inoltre questa è una funzione a tratti ovvero, in pratica, sono due funzioni diverse "appiccicate" una all'altra e allora puoi fare venire fuori di tutto (o quasi … )
Cordialmente, Alex
Ciao Alex, so che il punto è anche solo di nomenclatura sì, ahah, ma ero curioso anche solo di sapere se qualcun'altro aveva avuto questa perplessità.
Provo a seguirti, dai, proviamo a fare un po' di ordine: quindi tu dici che, essendo le derivate diverse e finite, la tangente non è verticale (che corrisponde ad un valore infinito del limite), ti seguo bene?
Quindi, dire che un punto angoloso è un punto caratterizzato da una tangente verticale è qualcosa di non vero?
Provo a seguirti, dai, proviamo a fare un po' di ordine: quindi tu dici che, essendo le derivate diverse e finite, la tangente non è verticale (che corrisponde ad un valore infinito del limite), ti seguo bene?
Quindi, dire che un punto angoloso è un punto caratterizzato da una tangente verticale è qualcosa di non vero?
Cioè fammi capire: cosa significa per te "tangente verticale"? A cosa ti stai riferendo? Perché quello che ho detto mi pareva ovvio ma adesso non lo so più … 
@Dlofud: un punto angoloso ha due semirette tangenti distinte, un flesso ne ha una sola che "attraversa" la curva. Per fare un esempio che potrebbe chiarire, supponi che la curva sia la traiettoria di un punto materiale vincolato ad una guida che ha quella forma; nel caso il punto materiale rompa il vincolo il moto prosegue ovviamente lungo la tangente alla curva. Se questo avviene in corrispondenza di un punto angoloso, la direzione del moto successiva alla rottura del vincolo dipende dal verso di percorrenza in quanto le tangenti sono semirette diverse (una da destra e un'altra da sinistra). Se invece avviene in un flesso, la direzione in cui prosegue uscendo dalla pista è unica.
Mettiamo un disegnetto, così ci si capisce meglio:
1: punto angoloso: derivate destra e sinistra diverse e finite
2): cuspide: derivate destra e sinistra infinite, una positiva, una negativa
3): flesso a tangente verticale: derivata destra e sinistra uguali, + infinito
4): flesso normale: derivata destra e sinistra uguali, finite
1: punto angoloso: derivate destra e sinistra diverse e finite
2): cuspide: derivate destra e sinistra infinite, una positiva, una negativa
3): flesso a tangente verticale: derivata destra e sinistra uguali, + infinito
4): flesso normale: derivata destra e sinistra uguali, finite
Ti manca il suo caso però ... (scherzo 
) ... il suo esempio è il tipo 1 ma con cambio di concavità quindi va in crisi ...
) ... il suo esempio è il tipo 1 ma con cambio di concavità quindi va in crisi ...
Rimediamo subito...
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