Punti P del piano

[elios2]

Ho svolto questo esercizio, e vorrei controllare con voi il mio procedimento. Grazie.

Trovare il luogo dei punti P del piano tali che
$(PP_1)^2+(PP_2)^2+(PP_3)^2=c^2$
dove $P_1(0,0)$, $P_2(1,0)$, $P_3(0,2)$.
Dire per quali valori di $c$ tale luogo non è privo di punti.

Ecco il mio svolgimento:
Preso $P(x,y)$ il generico punto $P$:
$(x-0)^2+(y-0)^2+(x-1)^2+(y-0)^2+(x-0)^2+(y-2)^2=c^2$
$x^2+y^2-2/3x-4/3y=c^2/3-5/3$ che è una circonferenza di centro $C(1/3,2/3)$ e raggio variabile dipendente da $c$.
Il luogo non è privo di punti per $c^2/3-5/3>0$, cioé $c<-sqrt5$ o $c>sqrt5$.

[MaMo2]

"elios":
...
$x^2+y^2-2/3x-4/3y=c^2/3-5/3$ che è una circonferenza di centro $C(1/3,2/3)$ e raggio variabile dipendente da $c$.
...

Fino a qui mi sembra OK.

....
Il luogo non è privo di punti per $c^2/3-5/3>0$, cioé $c<-sqrt5$ o $c>sqrt5$.

Questa conclusione è sbagliata. La circonferenza è:

$(x-1/3)^2+(y-2/3)^2=(3c^2-10)/9$

Il luogo perciò non è privo di punti se:

$3c^2-10>0$ cioè per $c<-sqrt(10/3)$ e $c>sqrt(10/3)$.

[elios2]

Si si, ho preso un abbaglio.. Quindi la soluzione finale è $c<-sqrt(10/3)$ o $c>sqrt(10/3)$, poiché mi chiede i valori di $c$ per cui il luogo dei punti non è privo di punti. Grazie!