Punti non allineati
Siano $P_1$, $P_2$,...,$P_6$ sei punti del piano non tutti allineati. Dimostrare che esiste una retta che contiene solo due di essi.
[Intuitivamente è chiaro il problema, è solo che mi sto perdendo fra calcoli di coefficienti angolari e non riesco ad arrivare ad una conclusione rigorosa]
[Intuitivamente è chiaro il problema, è solo che mi sto perdendo fra calcoli di coefficienti angolari e non riesco ad arrivare ad una conclusione rigorosa]
Risposte
se la retta deve contenere 'almeno' due di essi il problema è banale: prendi una retta che passa per due punti qualsiasi (non importa se passa o no per altri punti, se lo fa tanto meglio) ed hai una retta che passa per almeno due punti.
"elios":
Siano $P_1$, $P_2$,...,$P_6$ sei punti del piano non tutti allineati. Dimostrare che esiste una retta che contiene almeno solo due di essi.
forse e' piu' chiaro cosi' (se ho capito bene ):
Siano $P_1$, $P_2$,...,$P_6$ sei punti del piano non tutti allineati. Dimostrare che esiste almeno una retta ed esistono $P_i$ e $P_j$ (scelti tra i 6 punti) tali che: la retta contiene solo quei 2 punti e nessuno degli altri 4.
Scusate, scusate: quell' "ALMENO" non ci va:
"DIMOSTRARE CHE ESISTE UNA RETTA CHE CONTIENE SOLO DUE DI ESSI"
"DIMOSTRARE CHE ESISTE UNA RETTA CHE CONTIENE SOLO DUE DI ESSI"
ha ragione codino75
Per assurdo, si assumano i seguenti fatti:
1) i punti $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ non sono tutti collineari.
2) non esiste alcuna retta passante per due, e soli due, dei punti dati.
Certamente per ogni punto passano infinite rette e certmante per due punti distinti passa una ed una sola retta; quindi dal fatto 2) discende che tracciata una retta per due punti scelti tra i sei forniti, a questa appartiene almeno un altro punto tra i quattro rimanenti.
Per fissare le idee, si considerino $P_1$ e $P_2$: tracciata la retta per loro passante, si assuma che $P_3 \in P_1P_2$.
Si considerino i punti $P_3$ e $P_4$; possono darsi due casi:
a) uno tra $P_1$ e $P_2$ appartiene a $P_3P_4$
b) è collineare con $P_3$ e $P_4$ uno tra $P_5$ e $P_6$.
Caso a)
Se $P_1 \in P_3P_4$ (risp. $P_2 \in P_3P_4$) allora $P_2 \in P_3P_4$ (risp, $P_1 \in P_3P_4$): infatti se $P_1 \in P_3P_4$ (risp. $P_2 \in P_3P_4$) allora $P_1$ (risp. $P_2$) $P_3$ e $P_4$ sono collineari; ma per due punti distinti passa una ed una sola retta, quindi la retta per $P_1$ (risp. $P_2$), $P_3$ che passa anche per $P_4$ è la stessa considerta in principio e che passa anche per $P_2$ (risp. $P_1$). Conseguenza: $P_1, P_2, P_3, P_4$ sono collineari. La retta $P_5P_6$ deve passare per almeno uno dei quattro punti fin quì considerati (per assunzione di 2)); in più $P_5$ e $P_6$ devono essere collineari con i quattro suddetti punti, altrimenti in caso contrario contraddiremmo 2), ma non contraddicendo 2) si contraddice 1), perché i sei punti risultano tutti allineati.
Caso b)
Sia $P_5$ allineato a $P_3P_4$. La retta $P_1P_5$ deve essere allineata con qualche altro punto: se è allineata con un punto tra $P_2, P_3, P_4$ si ritorna alle contraddizioni del caso a).
Sia allora $P_6 \in P_1P_5$. La retta $P_6P_4$ deve passare per uno tra $P_1, P_2, P_3, P_5$: in ogni caso si ricade nelle contraddizioni del caso a).
Tenendo conto del fatto che quanto detto vale per ogni riordinamento nel selezionare i punti, si conlude che la negazione della tesi non è accettabile, portando solo a contraddizioni, da cui la tesi stessa.
P.S.
Errori e contorsionismo mentale ce ne sono molti: data l'ora chiedo comprensione.
1) i punti $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ non sono tutti collineari.
2) non esiste alcuna retta passante per due, e soli due, dei punti dati.
Certamente per ogni punto passano infinite rette e certmante per due punti distinti passa una ed una sola retta; quindi dal fatto 2) discende che tracciata una retta per due punti scelti tra i sei forniti, a questa appartiene almeno un altro punto tra i quattro rimanenti.
Per fissare le idee, si considerino $P_1$ e $P_2$: tracciata la retta per loro passante, si assuma che $P_3 \in P_1P_2$.
Si considerino i punti $P_3$ e $P_4$; possono darsi due casi:
a) uno tra $P_1$ e $P_2$ appartiene a $P_3P_4$
b) è collineare con $P_3$ e $P_4$ uno tra $P_5$ e $P_6$.
Caso a)
Se $P_1 \in P_3P_4$ (risp. $P_2 \in P_3P_4$) allora $P_2 \in P_3P_4$ (risp, $P_1 \in P_3P_4$): infatti se $P_1 \in P_3P_4$ (risp. $P_2 \in P_3P_4$) allora $P_1$ (risp. $P_2$) $P_3$ e $P_4$ sono collineari; ma per due punti distinti passa una ed una sola retta, quindi la retta per $P_1$ (risp. $P_2$), $P_3$ che passa anche per $P_4$ è la stessa considerta in principio e che passa anche per $P_2$ (risp. $P_1$). Conseguenza: $P_1, P_2, P_3, P_4$ sono collineari. La retta $P_5P_6$ deve passare per almeno uno dei quattro punti fin quì considerati (per assunzione di 2)); in più $P_5$ e $P_6$ devono essere collineari con i quattro suddetti punti, altrimenti in caso contrario contraddiremmo 2), ma non contraddicendo 2) si contraddice 1), perché i sei punti risultano tutti allineati.
Caso b)
Sia $P_5$ allineato a $P_3P_4$. La retta $P_1P_5$ deve essere allineata con qualche altro punto: se è allineata con un punto tra $P_2, P_3, P_4$ si ritorna alle contraddizioni del caso a).
Sia allora $P_6 \in P_1P_5$. La retta $P_6P_4$ deve passare per uno tra $P_1, P_2, P_3, P_5$: in ogni caso si ricade nelle contraddizioni del caso a).
Tenendo conto del fatto che quanto detto vale per ogni riordinamento nel selezionare i punti, si conlude che la negazione della tesi non è accettabile, portando solo a contraddizioni, da cui la tesi stessa.
P.S.
Errori e contorsionismo mentale ce ne sono molti: data l'ora chiedo comprensione.
Tutto chiarissimo, grazie!
bonus question:
dimostrarlo per $n$ punti
hint:un ragionamento sui casi estremi aiuta...
dimostrarlo per $n$ punti
hint:un ragionamento sui casi estremi aiuta...
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