Punti fissi di una curva paramentrica

[Giulio.Bergamini]

Era un punto della prova d'esame: "Dimostrare che per ogni $a$ reale la cubica $x^3-(a+1)x^2+ax=y$ ha sempre due punti fissi."
I punti sono A(0;0) e B(1;0), il primo si vede facilmente perchè $y=0$ quando $x=0$ (per ogni $a$ reale), il secondo? grazie.

(n.b: in generale, esiste un metodo per trovare tutti i punti fissi di una curva paramentrica qualsiasi? grazie)

[Mega-X]

.. basta che sostituisci alla $x$ il valore $1$ ed hai:

$1^3-(a+1)1^2+a1=y$
$1-a-1+a=y$
$y= (1-1) + (a-a) = 0$

quindi è verificata l'esistenza del secondo punto fisso $B$

comunque non esiste un metodo generico per trovare i punti fissi di una parametrica, te li devi trovare da te..

[Giulio.Bergamini]

Come si fa a sapere che è $1$ (senza conoscere il risultato)? si prova con $1,2,3,4,5,6,1/2,1/3,sqrt2...$? Ci deve essere un metodo.

[Sk_Anonymous]

Il metodo esiste ed e' quello di individuare le curve basi del fascio.Per fare questo
basta scrivere l'equazione data raggruppando i termini che non contengono il
parametro e quelli che lo contengono.
Nel caso nostro e':
$(x^3-x^2-y)+a(x-x^2)=0$
Pertanto le curve basi sono :
$x^3-x^2-y=0, x-x^2=0$ le quali ,messe a sistema, danno giusto i punti (0,0) e (1,0)
Esiste anche un altro metodo ma io consiglierei questo perche' mi sembra piu' generale.
karl

[Camillo]

Punti fissi = punti per cui passano tutte le curve del fascio , indipendentemente dal valore del parametro $ a $ .
Un punto è chiaramente $x=0;y=0$ .
Per trovare se ce ne sono altri raccolgo $x $ a fattor comune arrivando all'equazione $ x^2-(a+1)x+a = 0 $ ; risolvendola vedo che ha la radice $x=1 $ ( indipendente dal valore di $a $ ) cui corrisponde il valore $ y = 0 $.

N.B. il metodo di karl è quello più generale e trasforma la curva parametrica iniziale in combinazione lineare delle due curve base .

[Mega-X]

lol io pensavo che dovevi verificare l'esistenza dei punti $A$ e $B$..

sorry..