Punti Discontinuità Tre Rami

[davicos]

Salve a tutti circa l'esercizio:

$ f(x)={ ( 2x+x;x<0 ),( 1-sqrt(x); 0=1):} $

Volevo sapere se ho risolto correttamente:

$ lim_(x -> 0^-) 2x+2=2 $
$ lim_(x -> 0^+) 1-\sqrtx=1 $

Quindi $x=0$ Discontinuità di I° Specie

Poi, visto che il resto della funzione è definita per tutte le $x>0$ sarebbe inutile calcolare il limite di $lnx$ giusto?

[@melia]

Il limite è inutile, ma devi vedere se la funzione in 1 ha discontinuità oppure se è continua, a destra di 1 è continua di sicuro per come è definita, ma a sinistra?

[davicos]

Tende a $-\infty$??

[adaBTTLS1]

i calcoli eseguiti sono corretti.
da quanto emerso in tante discussioni non è "ortodosso" parlare di discontinuità in $0$ in quanto la funzione non esiste, ma comunque hai verificato correttamente che c'è un salto.
quanto a $1$, la continuità o discontinuità va verificata, quindi devi trovare i due limiti (è continua, perché i due limiti coincidono, ma non scontato);
il fatto che il logaritmo è definito solo per $x>0$ in questo caso è irrilevante, perché ti interessa solo per $x>=1$, quindi è giusto che non devi calcolare il limite a 0 (a 1 però sì, vedi punto precedente).

EDIT: nel frattempo sono arrivati altri messaggi, la mia connessione è lenta, non mi pare però il caso di modificare questo messaggio prima di inviarlo, eventualmente poi ci aggiorneremo.

[@melia]

Chi?
$lim_(x -> 1^-) 1-\sqrtx=0$
$f(1)= ln1 = 0$
Quindi la funzione in 1 è continua.

[davicos]

Quindi

$ lim_(x -> 1^+) lnx=lim_(x -> 1^-) lnx=0 $

Pertanto continua in tutto l'intorno di $1$ e quindi irrilevante?? Se si, perchè c'è il bisogno di verificare se tanto a prescindere l'argomento di $ln$ è $>0$?? Perchè magari non si sa mai come potrebbe comportarsi la funzione a $1^-$?? Per questo motivo?

[adaBTTLS1]

irrilevante $lim_(x->0) ln x = -oo$ perché $ln x$ nella tua funzione va considerata solo per $x>=1$ ...
per il resto, te l'abbiamo detto; se procedi come hai fatto per lo zero (dove hai usato le prime due espressioni), ora per i due limiti in uno devi usare seconda e terza espressione):
$lim_(x->1^-) (1-sqrtx)=0=lim_(x->1^+) (ln x)$

[davicos]

Ok e così che avevo fatto:

$ lim_(x -> 0^-) 2x+2=2$
$lim_(x -> 0^+) 1-\sqrtx=1 $
$lim_(x -> 1^-) 1-\sqrtx=0 $
$lim_(x -> 1^+) lnx=0 $

Però sul libro come risultato mi porta solo $x=0$ : I° Specie.

Perchè non anche la parte relativa ad $1$? E' questo che mi disorienta.

[adaBTTLS1]

appunto perché risulta continua in $1$, cosa che non potevi dire senza calcolare i due limiti (che risultano uguali tra loro e uguali al valore della $f(1)= ln1$)

[davicos]

Ah ok, quindi prima si verifica che effettivamente sia continua se si, la si lascia perdere giustamente. Grazie!

[adaBTTLS1]

prego!
però non è che "la si lascia perdere", si dice che è continua: il libro probabilmente riportava i risultati dei punti di discontinuità, e dunque non specificava il resto dello studio della funzione. dipende dall'esercizio.