Punti di Massimo, minimo e flesso.
Qual'è il procedimento per determinare le ascisse degli eventuali punti di massimo, minimo o flesso della seguente funzione?
$ y = cosx - senx$ in $[0,pi]$
$ y = cosx - senx$ in $[0,pi]$
Risposte
La funzione $ y = cosx - senx$ si può riscrivere come
$ y = sqrt(2)cos(x+pi/4)$.
Questa, in $[0,pi]$, ha
Massimo assoluto in $(0, 1)$,
flesso in $(pi/4, 0)$,
minimo relativo e assoluto in $(3/4pi,-sqrt(2))$.
$ y = sqrt(2)cos(x+pi/4)$.
Questa, in $[0,pi]$, ha
Massimo assoluto in $(0, 1)$,
flesso in $(pi/4, 0)$,
minimo relativo e assoluto in $(3/4pi,-sqrt(2))$.
Ma il mio testo mi fa vedere degli esempi in cui risolve la derivata prima e poi fa delle considerazioni............
Cosa cambia dal tuo esempio risolutivo?
E poi come fai a dire che la traccia che ho scritto io, puo' essere scritta come hai detto tu?
Come fai a dire che puo' essere scritta cosi'?
$ y = sqrt(2)cos(x+pi/4)$
Cosa cambia dal tuo esempio risolutivo?
E poi come fai a dire che la traccia che ho scritto io, puo' essere scritta come hai detto tu?
Come fai a dire che puo' essere scritta cosi'?
$ y = sqrt(2)cos(x+pi/4)$
"Bad90":
...
Come fai a dire che puo' essere scritta cosi'?
$ y = sqrt(2)cos(x+pi/4)$
Se sviluppi $sqrt(2)cos(x+pi/4)$ con le formule di addizione del coseno, ritrovi $cosx-senx$.
"chiaraotta":
Se sviluppi $sqrt(2)cos(x+pi/4)$ con le formule di addizione del coseno, ritrovi $cosx-senx$.
Ok, ma tu a cosa hai pensato per arrivare a dire che può essere scritta in questo modo? $sqrt(2)cos(x+pi/4)$
Io se mi vedo la seguente $y = cosx-senx$, non riesco ad immaginare a quella scritta in quel modo!?!?!
A cosa hai pensato??
Si dimostra che ogni funzione del tipo $f(x)=a senx+ b cosx$ può essere riscritta come $f(x)=csen(x+alpha)$, con $c$ e $alpha$ opportuni.
Esercizio 1
Determinare le ascisse degli eventuali punti di massimo relativo, di minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale delle seguenti funzioni logaritmiche ed esponenziali.
$ y= ln(x^2 +1)$
Il procedimento che ho utilizzato e' il seguente:
$ln(x^2 + 1) >0$ per l' esistenza del logarirmo deve essere maggiore di zero.
Ricavo la derivata prima.
$y' = (2x)/(x^2 +1) $
Si pone la seguente equazione uguale a zero:
$(2x)/(x^2 +1) =0 => x= 0$
Ricavo la derivata seconda.
$y'' = (2-2x^2)/(x^2 + 1)^2$
$y'' (0) = 2>0$
Allora la funzione data ha un minimo relativo per $x= 0$.
Dite che ho fatto bene????
Determinare le ascisse degli eventuali punti di massimo relativo, di minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale delle seguenti funzioni logaritmiche ed esponenziali.
$ y= ln(x^2 +1)$
Il procedimento che ho utilizzato e' il seguente:
$ln(x^2 + 1) >0$ per l' esistenza del logarirmo deve essere maggiore di zero.
Ricavo la derivata prima.
$y' = (2x)/(x^2 +1) $
Si pone la seguente equazione uguale a zero:
$(2x)/(x^2 +1) =0 => x= 0$
Ricavo la derivata seconda.
$y'' = (2-2x^2)/(x^2 + 1)^2$
$y'' (0) = 2>0$
Allora la funzione data ha un minimo relativo per $x= 0$.
Dite che ho fatto bene????
Esercizio 2
Determinare le ascisse degli eventuali punti di massimo relativo, di minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale delle seguenti funzioni logaritmiche ed esponenziali.
Correggetemi se sbaglio.
$ y = (x)/(lnx)$
Deeivata prima.
$y' = (lnx -1)/(ln^2 x)$
$ (lnx -1)/(ln^2 x) = 0 => lnx = 1 => x= e$
$ y'' = (2/x -(lnx)/x)/(ln^3x) = 1/e$
$ y'' (e) = 1/(2.71...........) >0$
Quindi, la funzione data ha un minimo relativo per $x=e$.
Cosa ne dite?
Determinare le ascisse degli eventuali punti di massimo relativo, di minimo relativo o di flesso a tangente orizzontale delle seguenti funzioni logaritmiche ed esponenziali.
Correggetemi se sbaglio.
$ y = (x)/(lnx)$
Deeivata prima.
$y' = (lnx -1)/(ln^2 x)$
$ (lnx -1)/(ln^2 x) = 0 => lnx = 1 => x= e$
$ y'' = (2/x -(lnx)/x)/(ln^3x) = 1/e$
$ y'' (e) = 1/(2.71...........) >0$
Quindi, la funzione data ha un minimo relativo per $x=e$.
Cosa ne dite?
Esercizio 3
Con la stessa traccia dei due precedenti, ho risolto il seguente, ma dolo che non ho capito come fa a dire che c'e' un flesso.
$ y= x - ln(1+x^2)$
Derivata prima.
$ y' = (x-1)^2/(x^2+1) $
$ (x-1)^2/(x^2+1) = 0 => x= 1 $
Derivata seconda.
$ y'' = (2x^2 -2)/(1+x^2)^2 $
$y'' (1) = 0$
Il testo mi dice che per $x=1$ la funzione ha un flesso, penso di aver fatto bene, anche perchè quando $y'' =0$, allora la funzione ha un flesso!
Ho fatto tutto bene?
Con la stessa traccia dei due precedenti, ho risolto il seguente, ma dolo che non ho capito come fa a dire che c'e' un flesso.
$ y= x - ln(1+x^2)$
Derivata prima.
$ y' = (x-1)^2/(x^2+1) $
$ (x-1)^2/(x^2+1) = 0 => x= 1 $
Derivata seconda.
$ y'' = (2x^2 -2)/(1+x^2)^2 $
$y'' (1) = 0$
Il testo mi dice che per $x=1$ la funzione ha un flesso, penso di aver fatto bene, anche perchè quando $y'' =0$, allora la funzione ha un flesso!
Ho fatto tutto bene?
"Bad90":
$ln(x^2 + 1) >0$ per l' esistenza del logarirmo deve essere maggiore di zero.
Questo non è corretto, per il dominio solo l'argomento deve essere $>0$, non tutto quanto.
Per quanto riguarda gli altri i procedimenti mi sembrano corretti, al momento non ho tempo di verificare calcoli e risultati.
Nell'esercizio 2 non capisco perché dopo avere calcolato $y''$ hai scritto $=1/e$; toglilo e va tutto bene.
Nell'esercizio 3 contesto che "quando $y''=0$, allora la funzione ha un flesso!". La frase giusta è "quando $y''=0$, allora la funzione può avere un flesso!"; succede spesso ma non sempre e per saperlo occorre continuare con le derivate successive.
Nell'esercizio 3 contesto che "quando $y''=0$, allora la funzione ha un flesso!". La frase giusta è "quando $y''=0$, allora la funzione può avere un flesso!"; succede spesso ma non sempre e per saperlo occorre continuare con le derivate successive.
Esercizio 4
Determinare il massimo e il minimo della seguente funzione, nell'intervallo indicato a fianco.
$ y = (x-1)^2/(x-2) $ in $[5/2,5]$
$ y' = (x^2 - 4x + 3)/(x-2)^2 $
$(x^2 - 4x + 3)/(x-2)^2 = 0$
Per risolvere l'equazione, faccio in questo modo:
$N>= 0 => x<=1 uu x>=3$
$D!=0 => x!=2$
Ma secondo voi è giusto che la devo risolvere come una disequazione? Ho fatto così, perchè riesco a garantirmi l'esistenza dell'equazione! Cosa ne dite???
Quindi $1$ non è dentro l'intervallo ma $3$ si, quindi:
$ y(5/2) = 9/2 $
$ y(3) = 4 $ (Massimo)
$ y(5) = 16/3 $ (minimo)
Dite che ho fatto tutto correttamente
Determinare il massimo e il minimo della seguente funzione, nell'intervallo indicato a fianco.
$ y = (x-1)^2/(x-2) $ in $[5/2,5]$
$ y' = (x^2 - 4x + 3)/(x-2)^2 $
$(x^2 - 4x + 3)/(x-2)^2 = 0$
Per risolvere l'equazione, faccio in questo modo:
$N>= 0 => x<=1 uu x>=3$
$D!=0 => x!=2$
Ma secondo voi è giusto che la devo risolvere come una disequazione? Ho fatto così, perchè riesco a garantirmi l'esistenza dell'equazione! Cosa ne dite???
Quindi $1$ non è dentro l'intervallo ma $3$ si, quindi:
$ y(5/2) = 9/2 $
$ y(3) = 4 $ (Massimo)
$ y(5) = 16/3 $ (minimo)
Dite che ho fatto tutto correttamente
Hai usato il metodo del segno della derivata prima , ed è giusto. Poi però devi fare il grafico per il segno di $y'$, con le solite linee che salgono o scendono; in esso devi riportare anche $x=2$ per tener conto del C.E.
Trovi che la funzione cresce in $(-oo,1)$; ha un massimo relativo in $x=1$, decresce in $(1,2)$ ed in $(2,3)$; ha un minimo relativo in $x=3$ e cresce in $(3,+oo)$.
Limitando l'attenzione all'intervallo dato e calcolando i valori come hai fatto, concludiamo che
$y(3)=4$ è minimo assoluto e relativo
$y(5)=16/3=5,bar3$ è massimo assoluto ma non relativo.
Trovi che la funzione cresce in $(-oo,1)$; ha un massimo relativo in $x=1$, decresce in $(1,2)$ ed in $(2,3)$; ha un minimo relativo in $x=3$ e cresce in $(3,+oo)$.
Limitando l'attenzione all'intervallo dato e calcolando i valori come hai fatto, concludiamo che
$y(3)=4$ è minimo assoluto e relativo
$y(5)=16/3=5,bar3$ è massimo assoluto ma non relativo.
Esercizio 5
Ho risolto il seguente, con la stessa traccia del precedente, spero di aver risolto correttamente l'equazione.
$ y = ln(x^2-1) $ in $[2,4]$
Ricavo la derivata prima.
$ y' = 1/(x^2-1)*2x $
$(2x)/(x^2-1)=0$
$N>=0 => x>=0$
$D!=0 => x!= +-1$
Va bene la soluzione che ho trovato all'equazione
Senza fare calcoli, perchè sono inutili, arrivo alla conclusione che $x_m = 2$ e che $x_M = 4$
Cosa ne dite
Ho risolto il seguente, con la stessa traccia del precedente, spero di aver risolto correttamente l'equazione.
$ y = ln(x^2-1) $ in $[2,4]$
Ricavo la derivata prima.
$ y' = 1/(x^2-1)*2x $
$(2x)/(x^2-1)=0$
$N>=0 => x>=0$
$D!=0 => x!= +-1$
Va bene la soluzione che ho trovato all'equazione
Senza fare calcoli, perchè sono inutili, arrivo alla conclusione che $x_m = 2$ e che $x_M = 4$
Cosa ne dite
Devi decidere che metodo vuoi usare ed agire in conseguenza; qui ha fatto una certa mescolanza.
- Se vuoi usare il segno della derivata prima non scrivi $(2x)/(x^2-1)=0$ bensì $(2x)/(x^2-1)>=0$ e prosegui con $N>=0,D>0$ (non $D!=0$)
- Se vuoi usare la derivata seconda devi calcolarla; in questo caso va bene la tua $y'=0$ ma prosegui dando denominatore comune e quindi ottenendo $N=0$
- Se vuoi usare il segno della derivata prima non scrivi $(2x)/(x^2-1)=0$ bensì $(2x)/(x^2-1)>=0$ e prosegui con $N>=0,D>0$ (non $D!=0$)
- Se vuoi usare la derivata seconda devi calcolarla; in questo caso va bene la tua $y'=0$ ma prosegui dando denominatore comune e quindi ottenendo $N=0$
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