Punti di massimo e minimo di funzione con valore assoluto
La funzione è: $sqrt(x^2-1)-|x|+1$
Dal grafico
si evince che vi sono due punti di minimo in $(-1,0)$ e $(1,0)$.
Per determinarli ho calcolato la derivata prima: $x/(sqrt(x^2-1))-|x|/x$, per poi spezzarla in due, causa il valore assoluto, e imporla $>0$.
1) $x/(sqrt(x^2-1))-1>0$
2) $x/(sqrt(x^2-1))+1>0$
Entrambe le disequazioni hanno soluzione $x>1$.
Ciò non vuole dire che ho individuato solamente $x=1$ come punto di minimo?
E come fare per $x=-1$ ?
Dal grafico
si evince che vi sono due punti di minimo in $(-1,0)$ e $(1,0)$.
Per determinarli ho calcolato la derivata prima: $x/(sqrt(x^2-1))-|x|/x$, per poi spezzarla in due, causa il valore assoluto, e imporla $>0$.
1) $x/(sqrt(x^2-1))-1>0$
2) $x/(sqrt(x^2-1))+1>0$
Entrambe le disequazioni hanno soluzione $x>1$.
Ciò non vuole dire che ho individuato solamente $x=1$ come punto di minimo?
E come fare per $x=-1$ ?
Risposte
Abbiamo già sviscerato questo problema, io da un punto di vista qualitativo e @melia correggendo un errore di calcolo.
I punti di coordinate (-1,0) e (1,0) sono punti di "minimo" se così li vuoi chiamare, ma non lo sono nel senso classico del termine.
La funzione infatti non è ivi continua, e quindi in quei punti non è derivabile.
Per ulteriori informazioni (derivabilità destra e derivabilità sinistra) ti consiglio di leggere l'esauriente
https://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/derivate/397-funzione-derivabile-condizione-necessaria-e-sufficiente-di-derivabilita.html
Marco
I punti di coordinate (-1,0) e (1,0) sono punti di "minimo" se così li vuoi chiamare, ma non lo sono nel senso classico del termine.
La funzione infatti non è ivi continua, e quindi in quei punti non è derivabile.
Per ulteriori informazioni (derivabilità destra e derivabilità sinistra) ti consiglio di leggere l'esauriente
https://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/derivate/397-funzione-derivabile-condizione-necessaria-e-sufficiente-di-derivabilita.html
Marco
@SergeiDragunov
Il grafico che riporti dovrebbe suggerirti che si tratta di una funzione pari; il controllo con la formula lo conferma, dato che $|-x| =|x|$. Quando una funzione è pari (o dispari) ci si risparmia una certo numero di calcoli studiandola solo per $x>=0$ e poi disegnando la sua simmetrica rispetto all'asse y (o all'origine); al posto del campo di esistenza si considera il campo di studio, cioè la parte del C.E. soddisfacente alla limitazione data.
Così facendo, la tua funzione diventa
$f(x)=sqrt(x^2-1)-x+1" "$ con $" "C.S. x>=1$
e non hai altri problemi.
Quanto alle tue disequazioni, non hai tenuto conto del fatto che la 2) vale solo nel caso $x<=0$, ed in questo caso è sempre falsa (ed infatti il grafico ti dice che lì la funzione scende sempre). Dato che evidentemente hai una calcolatrice (o calcolatore che sia) che ti dà subito i grafici, ti conviene imparare a sfruttarla.
Occhio però all'esame di maturità: non so quale sia la normativa attuale, ma qualche anno fa era proibito usarvi calcolatrici con quella possibilità.
Il grafico che riporti dovrebbe suggerirti che si tratta di una funzione pari; il controllo con la formula lo conferma, dato che $|-x| =|x|$. Quando una funzione è pari (o dispari) ci si risparmia una certo numero di calcoli studiandola solo per $x>=0$ e poi disegnando la sua simmetrica rispetto all'asse y (o all'origine); al posto del campo di esistenza si considera il campo di studio, cioè la parte del C.E. soddisfacente alla limitazione data.
Così facendo, la tua funzione diventa
$f(x)=sqrt(x^2-1)-x+1" "$ con $" "C.S. x>=1$
e non hai altri problemi.
Quanto alle tue disequazioni, non hai tenuto conto del fatto che la 2) vale solo nel caso $x<=0$, ed in questo caso è sempre falsa (ed infatti il grafico ti dice che lì la funzione scende sempre). Dato che evidentemente hai una calcolatrice (o calcolatore che sia) che ti dà subito i grafici, ti conviene imparare a sfruttarla.
Occhio però all'esame di maturità: non so quale sia la normativa attuale, ma qualche anno fa era proibito usarvi calcolatrici con quella possibilità.
Grazie ad entrambi per le risposte e per l'approfondimento linkato.
Avrei dovuto ragionare come segue se non avessi avuto a disposizione il grafico (vi prego di correggermi se sbaglio):
[size=200]·[/size] calcolo della derivata prima, per poi porla $=0$ per trovare i possibili punti di massimo/minimo della funzione;
[size=200]·[/size] poiché il punto trovato ($1$) rappresenta uno degli estremi del dominio $]-oo,-1]U[1,+oo[$, la funzione non è continua in esso (non ha senso valutarla per $x->1^-$). Pertanto non sarà un punto di massimo/minimo dove si richiede appunto un intorno crescente/decrescente;
[size=200]·[/size] la funzione non essendo continua in quel punto non sarà nemmeno derivabile. Sono anche da escludersi in esso cuspide, flesso a tangente verticale, punto angoloso perché non ha senso il calcolo della derivata da sinistra.
[size=200]·[/size]sapendo che la funzione è pari, tutto ciò vale anche per l'altro estremo del dominio, cioè $-1$.
Avrei dovuto ragionare come segue se non avessi avuto a disposizione il grafico (vi prego di correggermi se sbaglio):
[size=200]·[/size] calcolo della derivata prima, per poi porla $=0$ per trovare i possibili punti di massimo/minimo della funzione;
[size=200]·[/size] poiché il punto trovato ($1$) rappresenta uno degli estremi del dominio $]-oo,-1]U[1,+oo[$, la funzione non è continua in esso (non ha senso valutarla per $x->1^-$). Pertanto non sarà un punto di massimo/minimo dove si richiede appunto un intorno crescente/decrescente;
[size=200]·[/size] la funzione non essendo continua in quel punto non sarà nemmeno derivabile. Sono anche da escludersi in esso cuspide, flesso a tangente verticale, punto angoloso perché non ha senso il calcolo della derivata da sinistra.
[size=200]·[/size]sapendo che la funzione è pari, tutto ciò vale anche per l'altro estremo del dominio, cioè $-1$.
Nel complesso non sbagli, ma penso che non sia male mettere qualche puntino sulle i.
1) Uguagliare a zero la derivata prima permette di conoscere i punti di interesse, ma non dice se si tratta di massimi o di minimi o di flessi a tangente orizzontale; per saperlo occorre esaminare il segno della derivata seconda (se questa si annulla, della derivata terza, e così via). Poiché spesso questi calcoli non sono agevoli, di solito si preferisce risolvere la disequazione $y'>0$, traendone le solite conclusioni.
2) Il punto successivo è mal detto perché una funzione può essere crescente/decrescente, ma un intorno no; l'idea mi sembra comunque giusta. Avresti però dovuto parlare di intorno completo: è proprio l'incompletezza dell'intorno a far sì che quel punto non sia un minimo relativo, pur essendo un minimo assoluto.
3) La funzione non è continua in assoluto, ma ha continuità a destra; sempre solo a destra, potrebbe essere derivabile (ma non lo è, come vedi esaminando l'esistenza della derivata).
1) Uguagliare a zero la derivata prima permette di conoscere i punti di interesse, ma non dice se si tratta di massimi o di minimi o di flessi a tangente orizzontale; per saperlo occorre esaminare il segno della derivata seconda (se questa si annulla, della derivata terza, e così via). Poiché spesso questi calcoli non sono agevoli, di solito si preferisce risolvere la disequazione $y'>0$, traendone le solite conclusioni.
2) Il punto successivo è mal detto perché una funzione può essere crescente/decrescente, ma un intorno no; l'idea mi sembra comunque giusta. Avresti però dovuto parlare di intorno completo: è proprio l'incompletezza dell'intorno a far sì che quel punto non sia un minimo relativo, pur essendo un minimo assoluto.
3) La funzione non è continua in assoluto, ma ha continuità a destra; sempre solo a destra, potrebbe essere derivabile (ma non lo è, come vedi esaminando l'esistenza della derivata).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo