Punti di flesso

[G.D.5]

Perdonate la mia ignoranza ma ci sto uscendo matto.

La funzione di \(\mathbb{R}^{+}\) in \(\mathbb{R}\) di assegnazione da \[f(x)=x\sqrt[3]{\ln{x}}\] ha un punto di flesso in \(\text{e}^{\frac{2}{3}}\)?

La domanda nasce per via del fatto che Wolfram Mathematica mi fornisce una certa derivata seconda che dovrebbe azzerarsi per l'appunto in \(\displaystyle \text{e}^{\frac{2}{3}}\) ma io questa derivata non me la ritrovo (ad onor del vero non mi trovo proprio alcuna derivata seconda poiché l'ho fatta tre volte e tre volte ho ottenuto risultati diversi), di conseguenza a me risulta un grafico che ha come unico flesso quello in \(x=1\). Ho provato a tracciare il grafico della funzione sempre con Wolfram Mathematica ma non è di molto aiuto, giacché a occhio questo flesso non pare esserci.

Quindi o Mathematica ha ragione per quanto riguarda la derivata seconda e ha fatto una schifezza di grafico, o ha torto per quanto riguarda la derivata seconda e ha fatto un buon grafico in accordo con la mia derivata seconda.

Grazie.

[axpgn]

Beh, facendo il grafico lì la derivata seconda si azzera e cambia di segno, quindi sì, dovrebbe esserci un punto di fless0.
Nel grafico della funzione non lo vedi perché sembra una retta, ma probabilmente c'è
Non ti riporto la derivata seconda come me l'ha calcolata Graph perché ... non si capisce

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Dunque, a me la derivata seconda viene così:
$(1/3)*(ln(x))^(-2/3)*(1/x)-(2/9)*(ln(x))^(-5/3)*(1/x)$ ed in effetti si azzera in quel punto.

Cordialmente, Alex

[Epimenide93]

Usando carta e penna la derivata seconda mi viene uguale a quella di axpgn, riscritta come

\(\displaystyle \frac{1}{3 x ( \log{x} )^{2/3}} \left( 1- \frac{2}{3 \log{x} } \right) \)

Si vede subito che \( \text{e}^{2/3} \) è un punto in cui questa si annulla.

[G.D.5]

Ed allora è evidente che sbaglio qualcosa.
Torno a fare i "conti".

Ringrazio.