Punti di discontinuità di una funzione.

[Antimoscientifico]

Salve, potreste spiegarmi quando i punti di discontinuità sono di prima, seconda e terza specie ?

Magari con qualche esempio semplice e un po' di teoria base. Sul mio libro risulta troppo complesso e purtroppo con la didattica a distanza non riesco a capire molto bene , non vorrei restare indietro .

[Zero87]

Ciao, intanto che ne dici di dare un'occhiata agli appunti contenuti nel nostro sito?
https://www.matematicamente.it/appunti/continuita/
Tra le sezioni ci sono anche le discontinuità.

[Antimoscientifico]

Grazie mille per gli appunti, proverò a leggerli con attenzione. Sicuramente molto più chiari del mio libro .

[Antimoscientifico]

Leggendo gli appunti sono arrivato a svolgere un esercizio ma non sono molto sicuro di me. Potreste controllare e dirmi dove sbaglio ?

Ho cercato di svolgere l'asintoto orizzontale e verticale ma visto che il dominio ha due valori non so se lo svolgimento che ho fatto è corretto.

$ y=(x^3-2x)/(2x^2-4x) $

Ho calcolato il dominio che risulta essere:

$ 2x^2-4x != 0 -> x(2x-4) != 0 $ risultato $x!=0 $ e $ 2x-4 != 0 -> x!= 2$ .

Quindi il dominio è {0;+2}

Poi ho provato a calcolare l'asintoto verticale:

$ lim x -> 2^- = (x^3-2x)/(2x^2-4x) = ((2)^3-2(2))/(2(2)^2-4(2)) = (8-4)/(8-8) = 4/(0^-) = -\infty $

$ lim x -> 2^+ = (x^3-2x)/(2x^2-4x) = ((2)^3-2(2))/(2(2)^2-4(2)) = (8-4)/(8-8) = 4/(0^+) = +\infty $

Asintoto orizzontale:

$ lim x -> \infty = (x^3-2x)/(2x^2-4x) = \infty/\infty $ Forma indeterminata.

$ lim x -> \infty = (x^3(x^3/x^3 - (2x)/x^3))/(x^2((2x^2)/x^2 - (4x)/x^2)) = lim x -> \infty = (x(1-2/x^2))/(2-4/x) = \infty ((1-2/\infty))/(2-4/\infty) = (\infty (1-0))/(2-0) = \infty/2 = \infty$

Asintoto obliquo:

$ lim x -> \infty = [(x^3-2x)/(2x^2-4x) * 1/x] = [(x^3-2x)/((2x^2-4x)(x))] = (x^3-2x)/(2x^3-4x^2)=\infty/\infty$ Forma indeterminata.

$ lim x -> \infty = (x^3(x^3/x^3 - (2x)/x^3))/(x^3((2x^3)/x^3 - (4x^2)/x^3)) = (1-2/x^2)/(2-4/x) = (1-2/\infty)/(2-4/\infty) = (1-0)/(2-0) = 1/2$ Quindi m vale $ m=1/2x $


$ lim x -> \infty = [(x^3-2x)/(2x^2-4x) - 1/2x] = (x^2-2-x(x-2))/(2(x-2)) = (x^2-2-x^2+2x)/(2(x-2)) = (-2+2x)/(2(x-2)) = (2(-1+x))/(2(x-2)) = (-1+x)/(x-2) = (-1+\infty)/(\infty-2) = \infty/\infty $
Forma indeterminata.

$ lim x -> \infty = (x( -1/x + x/x))/(x(x/x - 2/x)) = (-1/x+1)/(1-2/x) = (-1/\infty+1)/(1-2/\infty) = (0+1)/(1-0) = 1/1 = 1 $
Quindi q vale $ q=1$

Risultato finale $ y = 1/2x+1$

[gugo82]

"Antimoscientifico":Ho cercato di svolgere l'asintoto orizzontale e verticale ma visto che il dominio ha due valori non so se lo svolgimento che ho fatto è corretto.

$ y=(x^3-2x)/(2x^2-4x) $

Ho calcolato il dominio che risulta essere:

$ 2x^2-4x != 0 -> x(2x-4) != 0 $ risultato $x!=0 $ e $ 2x-4 != 0 -> x!= 2$ .

Quindi il dominio è {0;+2}

Il dominio non è quello (e se davvero fosse quello staresti inguaiato... Che limiti vorresti calcolare se l'insieme di definizione fosse fatto da soli due punti?).

Il dominio "naturale" di una funzione elementare coincide con l'insieme individuato dalla condizioni di esistenza accoppiate alla sua espressione.
Visto che le c.e. accoppiate all'espressione $(x^3 - 2x)/(2x^2 - 4x)$ sono $x!=0 ^^ x != 2$, il dominio è l'insieme:

$D = \{ x in RR: x != 0 ^^ x != 2 \} = RR - \{ 0,2\}$

o, in notazione con gli intervalli:

$D= \{ x in RR:\ x< 0 vv 02\} = ]-oo, 0[ uu ]0,2[ uu ]2,+oo[$.

"Antimoscientifico":Poi ho provato a calcolare l'asintoto verticale:

$ lim x -> 2^- = (x^3-2x)/(2x^2-4x) = ((2)^3-2(2))/(2(2)^2-4(2)) = (8-4)/(8-8) = 4/(0^-) = -\infty $ [...]

Innanzitutto, levati dalla testa di poter scrivere cose come:

$ lim x -> 2^- = (x^3-2x)/(2x^2-4x) = ((2)^3-2(2))/(2(2)^2-4(2)) = (8-4)/(8-8) = 4/(0^-) = -\infty $

Non ha alcun senso.
La Matematica usa simboli per abbreviare concetti e frasi; quei simboli vengono fuori da secoli di storia e sono talmente levigati che raramente hanno bisogno di ulteriori contrazioni.
Quindi, mettiti l'animo in pace: si scrive:

$lim_(x -> 2^-) (x^3-2x)/(2x^2-4x) = \lim_(x -> 2^-) (x(x^2 - 2))/(2x(x-2)) = \lim_(x -> 2^+) (x^2 - 2)/(2(x-2)) = 2/0^(-) = -oo$

e non come hai scelto tu.
Lo stesso dicasi per tutti i limiti seguenti.

E ricorda: le cose o le scrivi bene, o non le scrivi affatto.

"Antimoscientifico":[...] $ lim x -> 2^+ = (x^3-2x)/(2x^2-4x) = ((2)^3-2(2))/(2(2)^2-4(2)) = (8-4)/(8-8) = 4/(0^+) = +\infty $

E quindi?
Qual è l'equazione dell'asintoto?

E ce n'è uno solo?

"Antimoscientifico":Asintoto orizzontale:

$ lim x -> \infty = (x^3-2x)/(2x^2-4x) = \infty/\infty $ Forma indeterminata. [...]

Non ha senso.
In $RR$ il simbolo $oo$ deve essere preceduto da un segno, o $+$ o $-$.
Se a livello di calcolo è indifferente considerare $+oo$ o $-oo$, usualmente si scrive $x -> +- oo$; ma il simbolo $oo$ è da evitare.

Lo stesso dicasi per i limiti seguenti.

"Antimoscientifico":[...] $ lim x -> \infty = (x^3(x^3/x^3 - (2x)/x^3))/(x^2((2x^2)/x^2 - (4x)/x^2)) = lim x -> \infty = (x(1-2/x^2))/(2-4/x) = \infty ((1-2/\infty))/(2-4/\infty) = (\infty (1-0))/(2-0) = \infty/2 = \infty$

E quindi?

Questo asintoto orizzontale c'è o no?
E dove? In $+oo$ o in $-oo$?

"Antimoscientifico":Asintoto obliquo:

$ lim x -> \infty = [(x^3-2x)/(2x^2-4x) * 1/x] = [(x^3-2x)/((2x^2-4x)(x))] = (x^3-2x)/(2x^3-4x^2)=\infty/\infty$ Forma indeterminata.

$ lim x -> \infty = (x^3(x^3/x^3 - (2x)/x^3))/(x^3((2x^3)/x^3 - (4x^2)/x^3)) = (1-2/x^2)/(2-4/x) = (1-2/\infty)/(2-4/\infty) = (1-0)/(2-0) = 1/2$ Quindi m vale $ m=1/2x $ [...]

Sicuro che il risultato del limite dipenda da $x$?

"Antimoscientifico":[...] $ lim x -> \infty = [(x^3-2x)/(2x^2-4x) - 1/2x] = (x^2-2-x(x-2))/(2(x-2)) = (x^2-2-x^2+2x)/(2(x-2)) = (-2+2x)/(2(x-2)) = (2(-1+x))/(2(x-2)) = (-1+x)/(x-2) = (-1+\infty)/(\infty-2) = \infty/\infty $
Forma indeterminata.

$ lim x -> \infty = (x( -1/x + x/x))/(x(x/x - 2/x)) = (-1/x+1)/(1-2/x) = (-1/\infty+1)/(1-2/\infty) = (0+1)/(1-0) = 1/1 = 1 $
Quindi q vale $ q=1$

Risultato finale $ y = 1/2x+1$

"Risultato finale" di cosa?

"Risultato" è quello di un calcolo.
Qui si tratta di "risposta" ad una domanda (che tra l'altro ti sei posto tu stesso), cioè: c'è un asintoto obliquo?
La risposta non è "$y=1/2 x + 1$", così come la risposta alla domanda "c'è stata vita su Marte?" non è "Acqua".
Alla domanda "c'è vita su Marte?" risponderesti "Sì, ci potrebbe essere stata se ci fosse stata acqua".
Alla domanda "c'è un asintoto obliquo?" rispondi "Sì, in $+oo$ c'è un asintoto obliquo di equazione $y=1/2 x + 1$".