Punti di continuità
Ciao a tutti, non mi è chiara una questione, volevo sapere se è sensato calcolare la continuità per punti esterni all'insieme di definizione..mentre se non sbaglio è lecito farlo per punti in cui cambia la legge di formazione.
Risposte
Bella domanda.
Se la poni ad un insegnante di scuola superiore ti dirà di sì, basta che siano punti di accumulazione del dominio.
Se la poni ad un docente universitario ti dirà di no.
Nonostante questo entrambi saranno d'accordo nel chiederti di calcolare il $lim_(x->2) (x-2)/(sqrt(x+2)-2)$ e che in $2$ la funzione è prolungabile per continuità in $(2; 4)$ perché $2$ è un punto di discontinuità eliminabile.
Se la poni ad un insegnante di scuola superiore ti dirà di sì, basta che siano punti di accumulazione del dominio.
Se la poni ad un docente universitario ti dirà di no.
Nonostante questo entrambi saranno d'accordo nel chiederti di calcolare il $lim_(x->2) (x-2)/(sqrt(x+2)-2)$ e che in $2$ la funzione è prolungabile per continuità in $(2; 4)$ perché $2$ è un punto di discontinuità eliminabile.
grazie, ma per avere le idee ancora piu chiare ti faccio un esempio: mi viene chiesto di controllare se la funzione f(x)= -x per -40 (quindi con due leggi di formazione) è continua per x=-6; 4; 0 e se è derivabile per x=0; 1; -4. Inoltre viene chiesto cosa significa la frase: "il limite per x->0 di f(x) è 1"?
"@melia":
Bella domanda.
Se la poni ad un insegnante di scuola superiore ti dirà di sì, basta che siano punti di accumulazione del dominio.
Se la poni ad un docente universitario ti dirà di no.
Nonostante questo entrambi saranno d'accordo nel chiederti di calcolare il $lim_(x->2) (x-2)/(sqrt(x+2)-2)$ e che in $2$ la funzione è prolungabile per continuità in $(2; 4)$ perché $2$ è un punto di discontinuità eliminabile.
Indubbiamente ha ragione il docente universitario perché per poter semplicemente esaminare la continuità in un punto devono essere verificate due condizioni: il punto deve appartenere al dominio e deve essere punto di accumulazione del dominio. Nell'esempio fatto, la funzione non è definita nel punto $x=2$, che però è un punto di accumulazione del dominio della funzione. Il problema della continuità in $x=2$ quindi nemmeno si pone. Non si può dire che la funzione non è continua nel punto $x=2$. Il punto $x=2$ è semplicemente un punto singolare della funzione. Siccome però esiste il limite per x che tende a 2 allora si può ridefinire la funzione. Volevo sottolineare proprio questo punto: ormai si tratta di una nuova funzione, non è più la funzione di partenza. Per la funzione di partenza la questione della continuità in $x=2$ nemmeno si pone e non si può dire che la funzione non è continua nel punto $x=2$.
Nell'esercizio che ho proposto io mi sai dire quali sono le risposte?
"john117":Ragiona dopo aver letto attentamente il mio intervento precedente. Se la funzione non è definita in un punto in quel punto non ci si può nemmeno chiedere se è continua. Fatti quindi questa domanda: dove è definita la funzione? Questo ti darà subito la risposta per i punti $x=-6$ e $x=0$. Controlla bene però se nella definizione della funzione c'è o no l'uguale per x=0. Da come hai scritto sembra di no. Se invece la funzione fosse definita anche in $x=0$ allora la conclusione sarebbe diversa. Per il punto $x=4$ non dovresti avere problemi.
Nell'esercizio che ho proposto io mi sai dire quali sono le risposte?
Come ha detto Maria il punto 2 è un punto singolare in cui il limite esiste finito, quindi la funzione di partenza non è continua, ma esiste una funzione continua in 2 che per $x!=2$ coincide con la funzione di partenza. Spesso sui testi di scuola superiore si passa sopra a questo tipo di "sottigliezze" (scritto tra virgolette perché, anche per me, non sono delle sottigliezze, tuttavia così è).
Tornando al tuo esercizio
$f(x)=\{(-x , if -40):}=\{(-x , if -4=1):}$
In $-6$ la funzione non è definita e $-6$ non è neppure un punto di accumulazione per il dominio, quindi la funzione non può essere continua e neppure prolungata per continuità;
in $4$ la funzione è definita e siccome in un intorno di 4 è un polinomio, è anche continua;
in $0$ a funzione non è definita, ma $0$ è un punto di accumulazione, si possono fare i limiti destro e sinistro che coincidono e valgono 0, per cui in questo punto può essere prolungata per continuità.
La funzione di partenza non è derivabile in $0$ e $-4$ perché non è definita in quei punti, ma la funzione prolungata per contiuità in $-4$ lo è, infatti in $-4$ il limite del rapporto incrementale per $x->-4^+$ esiste finito e coincide con il limite della derivata per $x-> -4^+$, (fatto solo da una parte perché $-4$ è un estremo del dominio), in $0$ non lo è perché facendo il limite da destra e da sinistra del rapporto incrementale vengono diversi. Anche in $-1$ succede la stessa cosa, quindi la funzione non è derivabile.
Riassumendo $f(x)=\{(-x , if -40):}=\{(-x , if -4=1):}$ non è continua in $-6$ e in $0$, mentre lo è in $4$. Non essendo continua, non può essere derivabile in $-4$ e in $0$. In $1$ non è derivabile perché i due limiti non coincidono. Però la funzione può essere prolungata per continuità in $-4$ e in $0$ e in tal caso la funzione così ottenuta
$g(x)=\{(-x , if -4<=x<0),(|x-x^2|, if x>=0):}=\{(-x , if -4<=x<0),(x-x^2, if 0<=x<1), (x^2-x, if x>=1):}$ è continua in $0$, resta continua in $4$, non è derivabile in $0$ né in $1$, ma lo è in $-4$
Inoltre viene chiesto cosa significa
La frase: "il limite per x->0 di f(x) è 1" è falsa perché tale limite esiste, ma vale 0
Tornando al tuo esercizio
$f(x)=\{(-x , if -4
In $-6$ la funzione non è definita e $-6$ non è neppure un punto di accumulazione per il dominio, quindi la funzione non può essere continua e neppure prolungata per continuità;
in $4$ la funzione è definita e siccome in un intorno di 4 è un polinomio, è anche continua;
in $0$ a funzione non è definita, ma $0$ è un punto di accumulazione, si possono fare i limiti destro e sinistro che coincidono e valgono 0, per cui in questo punto può essere prolungata per continuità.
La funzione di partenza non è derivabile in $0$ e $-4$ perché non è definita in quei punti, ma la funzione prolungata per contiuità in $-4$ lo è, infatti in $-4$ il limite del rapporto incrementale per $x->-4^+$ esiste finito e coincide con il limite della derivata per $x-> -4^+$, (fatto solo da una parte perché $-4$ è un estremo del dominio), in $0$ non lo è perché facendo il limite da destra e da sinistra del rapporto incrementale vengono diversi. Anche in $-1$ succede la stessa cosa, quindi la funzione non è derivabile.
Riassumendo $f(x)=\{(-x , if -4
$g(x)=\{(-x , if -4<=x<0),(|x-x^2|, if x>=0):}=\{(-x , if -4<=x<0),(x-x^2, if 0<=x<1), (x^2-x, if x>=1):}$ è continua in $0$, resta continua in $4$, non è derivabile in $0$ né in $1$, ma lo è in $-4$
Inoltre viene chiesto cosa significa
La frase: "il limite per x->0 di f(x) è 1" è falsa perché tale limite esiste, ma vale 0
Il segno di uguale non c'è..significa quindi che non mi devo porre il problema della continuità, se invece ci fosse stato un uguale per una delle due leggi allora avrei dovuto continuare calcolando limite destro e sinistro giusto? se fossero stati uguale allora la f sarebbe stata continua per 0, in caso i limiti fossero stati finiti e diversi la disc. era di 1 specie, nel caso uno dei limiti risultasse infinito di 2 specie... esatto??
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo