Punti accumulazione in numeri razionali...
Oggi a scuola la prof ha spiegato le varie definizioni di intorno, ecc...
Ha affermato che non possiamo trovar un punto di accumulazione Razionale per l'insieme dei numeri razionali...ha provato a dar una spiegazione ma non mi ha convinto affatto...
Possiamo affermarlo? Se si, perchè?
P.s. O meglio, ha affermato che un punto razionale è un punto isolato nell'insieme dei razionali... Mi spiegate se le due affermazioni sono equivalenti?
Comunque sia rispondere ad entrambe le mie domande
Ha affermato che non possiamo trovar un punto di accumulazione Razionale per l'insieme dei numeri razionali...ha provato a dar una spiegazione ma non mi ha convinto affatto...
Possiamo affermarlo? Se si, perchè?
P.s. O meglio, ha affermato che un punto razionale è un punto isolato nell'insieme dei razionali... Mi spiegate se le due affermazioni sono equivalenti?
Comunque sia rispondere ad entrambe le mie domande
Risposte
C'è un teorema che afferma questo fatto: tra due numeri reali distinti c’è sempre un numero razionale
ed un numero irrazionale.
Detto questo, consideriamo l'insieme dei numeri razionali $Q$, sottoinsieme di $R$.
Sia $x_0$ un punto di $Q$, allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $Q$,
perchè in ogni intorno di $x_0$ trovi punti razionali per il teorema enunciato sopra.
(E' sufficiente prendere infatti un punto dell'intorno diverso da $x_0$ e $x_0$, fra di loro trovi un razionale diverso da $x_0$).
Sia $y_0$ un punto di $R\\Q$ (insieme dei punti irrazionali), allora $y_0$ è un punto di accumulazione di $Q$,
perchè in ogni intorno di $y_0$ trovi punti razionali per il teorema enunciato sopra.
(E' sufficiente prendere infatti un punto dell'intorno diverso da $y_0$ e $y_0$, fra di loro trovi un razionale).
Da qui concludi che l’insieme dei numeri razionali ha come punti di accumulazione tutti i numeri reali
(quindi l'insieme dei punti isolati è vuoto)!
ed un numero irrazionale.
Detto questo, consideriamo l'insieme dei numeri razionali $Q$, sottoinsieme di $R$.
Sia $x_0$ un punto di $Q$, allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $Q$,
perchè in ogni intorno di $x_0$ trovi punti razionali per il teorema enunciato sopra.
(E' sufficiente prendere infatti un punto dell'intorno diverso da $x_0$ e $x_0$, fra di loro trovi un razionale diverso da $x_0$).
Sia $y_0$ un punto di $R\\Q$ (insieme dei punti irrazionali), allora $y_0$ è un punto di accumulazione di $Q$,
perchè in ogni intorno di $y_0$ trovi punti razionali per il teorema enunciato sopra.
(E' sufficiente prendere infatti un punto dell'intorno diverso da $y_0$ e $y_0$, fra di loro trovi un razionale).
Da qui concludi che l’insieme dei numeri razionali ha come punti di accumulazione tutti i numeri reali
(quindi l'insieme dei punti isolati è vuoto)!
Sia x0 un punto di Q, allora x0 è un punto di accumulazione di Q,
perchè in ogni intorno di x0 trovi punti razionali per il teorema enunciato sopra.
(E' sufficiente prendere infatti un punto dell'intorno diverso da x0 e x0, fra di loro trovi un razionale diverso da x0).
In base a questo che tu hai detto, è sbagliato affermare che il punto x0 è isolato?
Per fortuna sono testa dura... Avevo questo presentimento io
perchè in ogni intorno di x0 trovi punti razionali per il teorema enunciato sopra.
(E' sufficiente prendere infatti un punto dell'intorno diverso da x0 e x0, fra di loro trovi un razionale diverso da x0).
In base a questo che tu hai detto, è sbagliato affermare che il punto x0 è isolato?
Per fortuna sono testa dura... Avevo questo presentimento io
Si, infatti. Tutti i punti di $R$ sono punti di accumulazione di $Q$ per quanto detto prima.
Inoltre per definizione, punti di accumulazione non possono essere in alcun modo punti isolati!.
Quindi, $AA x in R$ si ha che $x$ non è un punto isolato di $Q$.
Inoltre per definizione, punti di accumulazione non possono essere in alcun modo punti isolati!.
Quindi, $AA x in R$ si ha che $x$ non è un punto isolato di $Q$.
"DKant10":
Si, infatti. Tutti i punti di $R$ sono punti di accumulazione di $Q$ per quanto detto prima.
Inoltre per definizione, punti di accumulazione non possono essere in alcun modo punti isolati!.
Quindi, $AA x in R$ si ha che $x$ non è un punto isolato di $Q$.
No, a me interessa per ogni x di Q
"DKant10":
$AA x in R$ si ha che $x$ non è un punto isolato di $Q$.
Questa proprietà vale per $R$ e quindi in particolare per $Q$, perchè $QsubR$.
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