Prova per Induzione
Salve!
Dovrei provare per induzione che
$9^(n+1)-8n-9$ è divisibile per 64 per tutti i valori di $n$ dove $n >= 1$.
$9^(n+1)-8n-9 = 64a$
Appurato che è valido per $n = 1$, sono passato a provarlo per $n+1$:
$9^(n+2)-8(n+1)-9 = 64b$
$9^(n+1)(8+1)-8n-8-9 = 64b$
$8(9^(n+1))+9^(n+1)-8n-8-9= 64b$
$8(9^(n+1))+64a-8 = 64b$
E da qui non so come procedere... Mi rimane l'otto negativo e la moltiplicazione per 8 che non so come sistemare...
Dovrei provare per induzione che
$9^(n+1)-8n-9$ è divisibile per 64 per tutti i valori di $n$ dove $n >= 1$.
$9^(n+1)-8n-9 = 64a$
Appurato che è valido per $n = 1$, sono passato a provarlo per $n+1$:
$9^(n+2)-8(n+1)-9 = 64b$
$9^(n+1)(8+1)-8n-8-9 = 64b$
$8(9^(n+1))+9^(n+1)-8n-8-9= 64b$
$8(9^(n+1))+64a-8 = 64b$
E da qui non so come procedere... Mi rimane l'otto negativo e la moltiplicazione per 8 che non so come sistemare...
Risposte
ho pensato ad un ragionamento di questo tipo; vedi un po' se può andare:
intanto puoi dividere tutto per 8:
$9^(n+1) + 8a - 1 = 8b$
si tratta a questo punto di dimostrare che $9^(n+1) + 8a - 1$ è divisibile per 8
$8a$ lo è ovviamente
se riesco a dimostrare che lo è $9^(n+1) - 1$ la dimostrazione è finita, poichè la somma di due numeri divisibili per 8 è sicuramente divisibile per 8
ma $9^(n+1) - 1$ è una differenza di potenze dello stesso grado che si può scomporre nella differenza delle basi :
$(9-1) $ che moltiplica il polinomio : $ 9^n + 9^(n-1)+...+1$
$9-1=8$ quindi $9^(n+1) - 1$ è divisibile per 8
intanto puoi dividere tutto per 8:
$9^(n+1) + 8a - 1 = 8b$
si tratta a questo punto di dimostrare che $9^(n+1) + 8a - 1$ è divisibile per 8
$8a$ lo è ovviamente
se riesco a dimostrare che lo è $9^(n+1) - 1$ la dimostrazione è finita, poichè la somma di due numeri divisibili per 8 è sicuramente divisibile per 8
ma $9^(n+1) - 1$ è una differenza di potenze dello stesso grado che si può scomporre nella differenza delle basi :
$(9-1) $ che moltiplica il polinomio : $ 9^n + 9^(n-1)+...+1$
$9-1=8$ quindi $9^(n+1) - 1$ è divisibile per 8
Ok, credo di avercela fatta... Grazie Nicole93!! Mi hai fatto riflettere sulle possibilità di espandere in binomi e forse sono giunto a qualcosa! 
Partendo da:
$9^(n+2)+8(n+1)-9 = 64b$
$9^(n+1)(8+1)+8n-8-9 = 64b$
$8(9^(n+1))+9^(n+1)-8n-8-9 = 64b$
$8(9^(n+1))-8+64a = 64b$
$9^(n+1)-1+8a = 8b$
$(8+1)^(n+1)-1+8a = 8b$
$((n), (0))8^n + ((n), (1))8^(n-1) + ((n), (2))8^(n-2)... 8^0 -1 +8a = 8b$
A questo punto, visto che $n^0 = 1$ $8^0$ e $1$ si cancellano a vicenda.
Finalmente mi ritrovo con una serie di potenze di otto moltiplicate per vari numeri che danno (dovrebbero
) dare delle somme sempre e comunque divisibili per 8.
(Nicole93 è probabilmente la stessa cosa che hai detto tu... Volevo solo vedere se riuscivo a smontare e rimontare il ragionamento.)
Partendo da:
$9^(n+2)+8(n+1)-9 = 64b$
$9^(n+1)(8+1)+8n-8-9 = 64b$
$8(9^(n+1))+9^(n+1)-8n-8-9 = 64b$
$8(9^(n+1))-8+64a = 64b$
$9^(n+1)-1+8a = 8b$
$(8+1)^(n+1)-1+8a = 8b$
$((n), (0))8^n + ((n), (1))8^(n-1) + ((n), (2))8^(n-2)... 8^0 -1 +8a = 8b$
A questo punto, visto che $n^0 = 1$ $8^0$ e $1$ si cancellano a vicenda.
Finalmente mi ritrovo con una serie di potenze di otto moltiplicate per vari numeri che danno (dovrebbero
) dare delle somme sempre e comunque divisibili per 8. poichè la somma di due numeri divisibili per 8 è sicuramente divisibile per 8
(Nicole93 è probabilmente la stessa cosa che hai detto tu... Volevo solo vedere se riuscivo a smontare e rimontare il ragionamento.)
sì, è la stessa cosa, solo che tu hai usato i coefficienti binomiali
che la somma sia divisibile per 8 è dato dal fatto che puoi raccogliere 8 a fattor comune
Buona domenica!
che la somma sia divisibile per 8 è dato dal fatto che puoi raccogliere 8 a fattor comune
Buona domenica!
Anche a te!
Grazie per l'aiuto!
Grazie per l'aiuto!
prego! 
Si, sono ancora io...
Senza scendere nei dettagli dei problemi, volevo solamente sapere se qualcuno riesce a spiegarmi le disuguaglianze (si scrive così in Italiano?) sempre usando le prove per induzione... Ad esempio:
$2^n >= 1 + n$ per tutti gli $n$ dove $ n >= 1$
In questo caso ho fatto:
$2^(n+1) >= 1+(n+1)$
Ho spostato tutto sulla parte destra del problema in modo da dover semplicemente provare che qualcosa è maggiore di o uguale a zero...
$2^(n+1) - 1 - (n+1) >= 0$
$2^n(1+1) - 1 - (n+1) >= 0$
$2^n+2^n -1-(n+1) >=0$
$2^n + 2^n - n -2 >=0$
Però non saprei come andare avanti...
Senza scendere nei dettagli dei problemi, volevo solamente sapere se qualcuno riesce a spiegarmi le disuguaglianze (si scrive così in Italiano?) sempre usando le prove per induzione... Ad esempio:
$2^n >= 1 + n$ per tutti gli $n$ dove $ n >= 1$
In questo caso ho fatto:
$2^(n+1) >= 1+(n+1)$
Ho spostato tutto sulla parte destra del problema in modo da dover semplicemente provare che qualcosa è maggiore di o uguale a zero...
$2^(n+1) - 1 - (n+1) >= 0$
$2^n(1+1) - 1 - (n+1) >= 0$
$2^n+2^n -1-(n+1) >=0$
$2^n + 2^n - n -2 >=0$
Però non saprei come andare avanti...
Sai già che $2^n-1-n>=0$ che è l'ipotesi induttiva, quindi $2^n-1-n+2^n-1>=2^n-1>=2^n-1-n>=0$
Ciao @melia, grazie per l'interessamento al mio problema!
Non ho capito come sei arrivato allo stadio intermedio: $2^n-1$
Comunque so che $2^n+2^n-n-1-1 >= 2^n-1-n$ ma non riesco a capire come dimostrarlo...
EDIT: Come non detto, ho capito...
Ma basta quindi scrivere $2^n+2^n-n-1-1 >= 2^n+2^n-n-1-1-(2^n-1-n)$ dove $2^n-1-n >=0$
Ottenendo quindi
$2^n+2^n-n-2 >= 2^n-1$ quindi visto che $0 =< 2^n-1-n =< 2^n-1$ ottengo che $2^n-1 >= 0$
Quindi visto che $2^n+2^n-n-2 >= 2^n-1$ (essendo il secondo il primo meno alcuni termini) $2^n+2^n-n-2$ è necessariamente maggiore o uguale a zero?
Non ho capito come sei arrivato allo stadio intermedio: $2^n-1$
Comunque so che $2^n+2^n-n-1-1 >= 2^n-1-n$ ma non riesco a capire come dimostrarlo...
EDIT: Come non detto, ho capito...
Ma basta quindi scrivere $2^n+2^n-n-1-1 >= 2^n+2^n-n-1-1-(2^n-1-n)$ dove $2^n-1-n >=0$
Ottenendo quindi
$2^n+2^n-n-2 >= 2^n-1$ quindi visto che $0 =< 2^n-1-n =< 2^n-1$ ottengo che $2^n-1 >= 0$
Quindi visto che $2^n+2^n-n-2 >= 2^n-1$ (essendo il secondo il primo meno alcuni termini) $2^n+2^n-n-2$ è necessariamente maggiore o uguale a zero?
L'ipotesi induttiva dice che $2^n-1-n>=0$ quindi puoi sostituire nella tua formula $2^n-1-n+2^n-1>=0$ al posto dei primi tre termini uno 0 e dire che $2^n-1-n+2^n-1>=0+2^n-1>=2^n-1-n>=0$
Riprovo in altra forma
se so che $a>c$, posso dire anche che $a+b>c+b$ giusto? È la stessa cosa che ho fatto sopra, ho sostituito $2^n-1-n$ con uno $0$.
Riprovo in altra forma
se so che $a>c$, posso dire anche che $a+b>c+b$ giusto? È la stessa cosa che ho fatto sopra, ho sostituito $2^n-1-n$ con uno $0$.
Ok... Vediamo se ho capito bene.
L'ipotesi di base è che $2^n >= n+1$
Quindi provando per $n+1$ ottengo:
$2^n+2^n-1-1-n$
Ora applicando
$2^n+2^n-1-1-n-(2^n-n-n1)$ che da $2^n-1$
Visto che $2^n >= n+1$ viene logico che $2^n+2^n-1-1-n >= 2^n-1$
Logicamente $2^n-1 >= 2^n-1-n$, e visto che $2^n-1-n >=0$ il problema si può dire provato... Giusto?
L'ipotesi di base è che $2^n >= n+1$
Quindi provando per $n+1$ ottengo:
$2^n+2^n-1-1-n$
Ora applicando
$2^n+2^n-1-1-n-(2^n-n-n1)$ che da $2^n-1$
Visto che $2^n >= n+1$ viene logico che $2^n+2^n-1-1-n >= 2^n-1$
Logicamente $2^n-1 >= 2^n-1-n$, e visto che $2^n-1-n >=0$ il problema si può dire provato... Giusto?
Esattamente così
Ancora una domanda...
Mettiamo che nella prova per $n+1$ il risultato finale sia in forma di $1<3$, va bene lasciato così o deve per forza essere espresso in termini di $n$?
Mettiamo che nella prova per $n+1$ il risultato finale sia in forma di $1<3$, va bene lasciato così o deve per forza essere espresso in termini di $n$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo