Prova invalsi seconda liceo
Salve a tutti! Vi propongo un quesito di una prova invalsi che mi sta creando difficoltà:
" considerato k intero con la condizione che $ 0<=k<=2008 $ , determinare QUANTI k sono tali da avere due soluzioni intere per l'equazione $ x^2-x-k=0 $ "
Non ho idea di come si possa fare per determinarlo, ho provato a impostare le condizioni
$ x+y=1 $
$ x*y=-k $
chiamando con x e y le soluzioni e utilizzando le relazioni tra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado, ma non credo di essere sulla buona strada, anche perchè non penso si proceda a tentativi. Grazie per l'aiuto che vorrete darmi
" considerato k intero con la condizione che $ 0<=k<=2008 $ , determinare QUANTI k sono tali da avere due soluzioni intere per l'equazione $ x^2-x-k=0 $ "
Non ho idea di come si possa fare per determinarlo, ho provato a impostare le condizioni
$ x+y=1 $
$ x*y=-k $
chiamando con x e y le soluzioni e utilizzando le relazioni tra soluzioni e coefficienti di un'equazione di secondo grado, ma non credo di essere sulla buona strada, anche perchè non penso si proceda a tentativi. Grazie per l'aiuto che vorrete darmi
Risposte
Non ho mai affrontato un problema del genere e non so se ci sono strade differenti da quella che propongo: lo dico in modo che conteniate gli insulti leggendo il metodo istrano che ho in mente. 
Quella che propongo, alla fine, si serve della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
$x_(1,2) = 1/2 \pm \frac{\sqrt(1+4k)}{2}$
e a questo punto occorre trovare $k$ tale che
- $4k+1$ sia un quadrato perfetto
- $\sqrt(4k+1)$ sia un numero dispari (in modo che, sottratto o sommato all'$1/2$ iniziale dia un numero intero).
A questo punto, però, andrei per tentativi...
Però mescolerei i tentativi a una ricerca razionale: un reverse engineering in cui parto dai quadrati dispari[nota]Quelli compresi tra $1^2$ e $89^2$.
Mi fermo a $89^2$ perché $91^2>1+2008\cdot 4$.[/nota], sottraggo 1 a ognuno e vedo se quello che ho è un numero pari che, diviso per $4$ mi dà un intero.
E' un metodo ignorante, contorto, non brevissimo, ma che dovrebbe funzionare.
Quella che propongo, alla fine, si serve della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
$x_(1,2) = 1/2 \pm \frac{\sqrt(1+4k)}{2}$
e a questo punto occorre trovare $k$ tale che
- $4k+1$ sia un quadrato perfetto
- $\sqrt(4k+1)$ sia un numero dispari (in modo che, sottratto o sommato all'$1/2$ iniziale dia un numero intero).
A questo punto, però, andrei per tentativi...
Però mescolerei i tentativi a una ricerca razionale: un reverse engineering in cui parto dai quadrati dispari[nota]Quelli compresi tra $1^2$ e $89^2$.
Mi fermo a $89^2$ perché $91^2>1+2008\cdot 4$.[/nota], sottraggo 1 a ognuno e vedo se quello che ho è un numero pari che, diviso per $4$ mi dà un intero.
E' un metodo ignorante, contorto, non brevissimo, ma che dovrebbe funzionare.
E' una prova pensata per chi frequenta la seconda liceo. Quindi dubito che sia qualcosa di veramente complicato..inoltre il risultato deve dare 45 e non credo nemmeno che si possa procedere per tentativi con un risultato del genere 
Ho letto una risposta di minomic - che saluto - poi eliminata dall'autore e m'ha dato l'idea.
Partendo dal mio ragionamento, che è giusto, ho scoperto che i tentativi non servono.
Il quadrato di un numero dispari $2n+1$ è $4n^2+4n+1$. Se sottraggo $1$ ottengo $4n^2+4n=4(n^2+n)$ che è divisibile per $4$ dunque $n^2+n$ è l'intero $k$ che cerchiamo.
Come dice(va) minomic, i numeri dispari tra $1$ e $89$ sono $45$ e tutti soddisfano quella cosa.
Ripensandoci, è più contorta come l'ho detta ora che prima!
- poi eliminata dall'autore e m'ha dato l'idea.Partendo dal mio ragionamento, che è giusto, ho scoperto che i tentativi non servono.
Il quadrato di un numero dispari $2n+1$ è $4n^2+4n+1$. Se sottraggo $1$ ottengo $4n^2+4n=4(n^2+n)$ che è divisibile per $4$ dunque $n^2+n$ è l'intero $k$ che cerchiamo.
Come dice(va) minomic, i numeri dispari tra $1$ e $89$ sono $45$ e tutti soddisfano quella cosa.
Ripensandoci, è più contorta come l'ho detta ora che prima!
Ciao Zero, sì ho eliminato la risposta perché mi sono accorto di una falla nel ragionamento.
Infatti dicevo che se $4k$ è pari allora anche $k$ è pari, ma questo non è vero! $4k$ è pari in ogni caso...
Invece come l'hai messa tu, mi sembra che funzioni.
Infatti dicevo che se $4k$ è pari allora anche $k$ è pari, ma questo non è vero! $4k$ è pari in ogni caso...
Invece come l'hai messa tu, mi sembra che funzioni.
"minomic":
Ciao Zero, sì ho eliminato la risposta perché mi sono accorto di una falla nel ragionamento.
Infatti dicevo che se $4k$ è paria allora anche $k$ è pari, ma questo non è vero! $4k$ è pari in ogni caso...
Alla fine, la parità di $k$ è ininfluente, quello che deve essere dispari è $4k+1$: per questo avevi detto giusto.
Invece come l'hai messa tu, mi sembra che funzioni.
Se funziona il merito è tutto tuo perché è stato il tuo post cancellato a darmi l'idea.
PS: stai a 2997 messaggi, sai che tra 3 ti si accende l'ultima lampadina?
"Zero87":
Se funziona il merito è tutto tuo perché è stato il tuo post cancellato a darmi l'idea.
Ottimo! Felice di aver contribuito!
Quindi ho detto una cosa giusta quasi per caso... in termine matematico si chiama cu..... curiosità ricompensata!
"Zero87":
PS: stai a 2997 messaggi, sai che tra 3 ti si accende l'ultima lampadina?
E' vero! E con questo... -2
OK! Adesso è chiarissimo! Grazie a entrambi! Una faticaccia però! Specialmente se non ti insegnano a ragionare in questi termini..grazie ancora per l'aiuto!
Io ho trovato una soluzione diversa. L'equazione può essere scritta come
$k=x(x-1)$
cioè il prodotto di due numeri consecutivi. L'attenzione può essere limitata ad $x>0$ perché in caso contrario ci basterebbe cambiare i segni dei due fattori per ottenere lo stesso $k$.
Deve essere $k>=0$, quindi
$x(x-1)>=0$ che con la limitazione ha come soluzione $x>=1$
Deve poi essere
$x^2-x<=2008$
L'equazione ha come soluzione $x=(1+-sqrt 8032)/2$; con la limitazione e ricordando che $x$ deve essere intero troviamo che la disequazione ha soluzione $x<=45$
Vanno quindi bene tutti gli interi fra $1$ e $45$: ci sono $45$ soluzioni.
$k=x(x-1)$
cioè il prodotto di due numeri consecutivi. L'attenzione può essere limitata ad $x>0$ perché in caso contrario ci basterebbe cambiare i segni dei due fattori per ottenere lo stesso $k$.
Deve essere $k>=0$, quindi
$x(x-1)>=0$ che con la limitazione ha come soluzione $x>=1$
Deve poi essere
$x^2-x<=2008$
L'equazione ha come soluzione $x=(1+-sqrt 8032)/2$; con la limitazione e ricordando che $x$ deve essere intero troviamo che la disequazione ha soluzione $x<=45$
Vanno quindi bene tutti gli interi fra $1$ e $45$: ci sono $45$ soluzioni.
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