Proprietà parabola
Buongiorno, dovrei dimostrare questa proprietà della parabola:
da i punti di intersezione di una generica parabola con una retta perpendicolare all'asse di simmetria, si traccino le tangenti alla parabola. Si dimostri che il punto di intersezione di tali tangenti appartiene all'asse della parabola.
Io ho provato così, ditemi se può andare:
Per semplificare il problema io ho considerato la generica parabola $\gamma: y=ax^2$. Dato che da questa, in funzione del parametro a, si possono ricavare tutte le parabole con una traslazione o una rotazione. Quindi se la proprietà vale per $y=ax^2$, dovrebbe valere per ogni parabola.
L'asse di simmetria è $x=0$, la generica perpendicolare all'asse è $p: y=k$. I punti di intersezione tra p e $\gamma$ sono $P_1(-sqrt(k/a);k)$ e $P_2(sqrt(k/a);k)$ ed esistono a condizione che $k/a>0$ (per $k/a=0$ si ottiene il caso degenere di un unica tangente orizzontale coincidente con l'asse delle ascisse).
Con la formula dello sdoppiamento ho ricavato le due tangenti:
$t_1:y=-2asqrt(k/a)x-k$ e $t_2:y=2asqrt(k/a)x-k$
Infine intersecandole trovo che l'ascissa del punto di intersezione viene 0. Per cui il punto di intersezione appartiene all'asse della parabola
da i punti di intersezione di una generica parabola con una retta perpendicolare all'asse di simmetria, si traccino le tangenti alla parabola. Si dimostri che il punto di intersezione di tali tangenti appartiene all'asse della parabola.
Io ho provato così, ditemi se può andare:
Per semplificare il problema io ho considerato la generica parabola $\gamma: y=ax^2$. Dato che da questa, in funzione del parametro a, si possono ricavare tutte le parabole con una traslazione o una rotazione. Quindi se la proprietà vale per $y=ax^2$, dovrebbe valere per ogni parabola.
L'asse di simmetria è $x=0$, la generica perpendicolare all'asse è $p: y=k$. I punti di intersezione tra p e $\gamma$ sono $P_1(-sqrt(k/a);k)$ e $P_2(sqrt(k/a);k)$ ed esistono a condizione che $k/a>0$ (per $k/a=0$ si ottiene il caso degenere di un unica tangente orizzontale coincidente con l'asse delle ascisse).
Con la formula dello sdoppiamento ho ricavato le due tangenti:
$t_1:y=-2asqrt(k/a)x-k$ e $t_2:y=2asqrt(k/a)x-k$
Infine intersecandole trovo che l'ascissa del punto di intersezione viene 0. Per cui il punto di intersezione appartiene all'asse della parabola
Risposte
proprio adesso sto pensando che per questione di simmetria non poteva essere altrimenti
Volevo chiedere se andava bene "per simmetria" in effetti.
Provo a dimostrarne un'altra forse meno ovvia:
data una generica parabola, tracciare da un punto sulla direttrice le due tangenti alla parabola. Dimostrare che le due tangenti sono perpendicolari.
partendo dalla parabola generica $y=ax^2$ la direttrice è $y=-1/(4a)$
un punto generico sulla direttrice $D(k;-1/(4a))$ la tangente alla parabola è $y+1/(4a)=m(x-k)$.
Mettendo a sistema con l'equazione della parabola ottengo: $ax^2-mx+mk+1/(4a)=0$
ponendo il discriminante uguale a zero ottengo: $m^2-4akm-1=0$
le cui soluzioni sono $m_(1,2)=2ak+-sqrt(4a^2k^2+1)$
che sono i coefficenti angolari delle due retta tangenti,
moltiplicando i quali ottengo -1, quindi sono perpendicolari.
data una generica parabola, tracciare da un punto sulla direttrice le due tangenti alla parabola. Dimostrare che le due tangenti sono perpendicolari.
partendo dalla parabola generica $y=ax^2$ la direttrice è $y=-1/(4a)$
un punto generico sulla direttrice $D(k;-1/(4a))$ la tangente alla parabola è $y+1/(4a)=m(x-k)$.
Mettendo a sistema con l'equazione della parabola ottengo: $ax^2-mx+mk+1/(4a)=0$
ponendo il discriminante uguale a zero ottengo: $m^2-4akm-1=0$
le cui soluzioni sono $m_(1,2)=2ak+-sqrt(4a^2k^2+1)$
che sono i coefficenti angolari delle due retta tangenti,
moltiplicando i quali ottengo -1, quindi sono perpendicolari.
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