Proprietà esponeziali

[matteo.basile]

salve a tutti...
ho 46 anni e ho deciso di rimmettermi a studiare e sto preparando l'esame di analisi 1 detto questo vi sottopongo il mio probelma sicuramente molto semplice :
\lim n \to \infty \left ( 1+\frac{1}{3n} \right )^{2n}=\lim n \to \infty \left [ \left ( 1+\frac{1}{3n} \right )^{3n} \right ]^{\frac{2}{3}}

gentilmente potreste spiegarmi con passaggi completi come passo da un aforma all'atra????
vi ringrazio anticipatamente.

[@melia]

Il messaggio è illegibile. Provo ad interpretarlo
$lim_(n-> +oo) (1+1/(3n))^(2n) = lim_(n-> +oo) [(1+1/(3n))^(3n)]^(2/3)$

Sono le proprietà delle potenze: $(x^a)^b =x^(ab)$

Conoscerai sicuramente il limite notevole $lim_(n-> +oo) (1+1/n)^n=e$ che, per funzioni continue, può essere visto anche come $lim_(f(x)-> +oo) (1+1/(f(x)))^(f(x))=e$ l'importante è che il denominatore dentro parentesi e l'esponente siano uguali.
Nell'esercizio il denominatore vale $3n$, perciò anche l'esponente deve essere $3n$. Poi, applicando le proprietà delle potenze, devi mettere un secondo esponente che faccia quadrare i conti.

$lim_(n-> +oo) (1+1/(3n))^(3n) =e$ quindi $lim_(n-> +oo) [(1+1/(3n))^(3n)]^(2/3)= e^(2/3) = root(3) (e^2)$